ベストアンサー
遭遇するほとんどのシーケンスは、 n-第3項：a\_n = f（n）ここで、fは、算術演算、累乗、根、べき乗、ログ、および場合によっては他の関数から構築された関数です。問題は、 n が無限大に近づくとどうなるかです。 \ lim\_ {n \ to \ infty} f（n）は有限数ですか、つまり、シーケンスは収束しますか、それとも何か他のことが起こりますか？それは\ inftyまたは-\ inftyに発散しますか、2つの異なる数の間で振動しますか、それともすべての混乱が解き放たれますか？
「確実性には興味がないが、その答えに満足している」場合ほとんどの状況で正しくなるので、a\_ {1000}またはシーケンスのどこか別の場所を計算できます。遭遇するほとんどのシーケンスでは、それがあなたの質問に答えるはずです。
しかし、それはあなたの質問ではありません。シーケンスが収束するかどうかを本当に知りたいのです。確実性が必要であり、可能であれば、収束する数を知るために。残念ながら、シーケンスが取ることができる形式は無限です。あなたができる最善のことは、ほとんどの場合を処理するいくつかの原則を持つことです。ここにいくつかの原則があります。
- 合理関数、つまりa\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6nなどの多項式の商+8}。分子と分母を存在するnの最大の累乗で割ると、何が起こるかがわかります。すべてを定理にまとめることができます。分子の次数がと同じ場合分母の次数の場合、シーケンスは先行係数の比率（例では4/3）に収束します。分母の次数が高い場合、シーケンスは0に収束します。分子の次数が高い場合、 r度の場合、シーケンスは、先頭の係数の符号が同じ場合は\ inftyに、符号が異なる場合は-\ inftyに発散します。
- 指数 a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 +3}}などの根を含む代数関数。分子と分母を nの小数乗で割ります。 この例では、\ sqrtnで十分です。
- 構成、例：a\_n = \ sin \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 +6}。外側の関数sineは連続関数であり、連続関数は制限を保持します。この場合、\ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0があるため、元のシーケンスは\ sin0 = 0に近づきます。ただし、代わりにa\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}を検討してください。ここに\ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ inftyがあり、\ sinxはx \ to \ inftyとして–1と1の間で振動するため、このシーケンスに制限はありません。
- 相対的な成長順序。多くの場合、a\_n = \ frac {f（n）} {g（n）}があります。ここで、f（n）\ to \ inftyとg（n）\ to \ inftyの両方があります。商に何が起こるかは、分子または分母の成長が速くなっています。記号\ precを使用して、一方の成長がもう一方よりもはるかに遅いことを示します。つまり、f \ precgは\ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f（n）}を意味します。 {g（n）} = 0。これらのいくつかを知っておくと便利です。たとえば、n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdotsです。これらはすべて多項式の例ですが、他のいくつかの関数を知っておく必要があります。 log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n！\ prec n ^ n
- L “Hôpital”の法則。シーケンスは離散的ですが、連続限界が収束する場合、またはプラスまたはマイナスの無限大に発散する場合は、そうです。離散制限を行います。たとえば、「a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n}があり、上記の順序を使用しなかった場合は、L “Hôpital”を使用できます。 sルール。制限内で\ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}であるため、分子と分母は両方とも無限大に近づいているため、その制限はと同じになります。分子と分母をそれらの導関数\ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1 + \ log x} {2x}で置き換える場所を制限します。それでも何が起こるかが明確でない場合は、これも\ infty / \ inftyの形式では、L “Hôpital”のルールagを使用できます。 ain。
- e ^ xの特別な制限。これは、指数関数の定義として使用される場合があります。それは知る価値があり、有用な順序で頻繁に出てきます。（1 + x / n）^ n \ to e ^ x
もっと多くのテクニックがあると確信しています。代数の使用を単純化することを忘れないでください。
回答
シーケンスの収束をテストするためのいくつかのテスト。
1。シーケンスa\_nとf（n）= a\_nおよび\ lim\_ {n \ to \ infty} f（x）= Lのような関数f（x）がある場合、\ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0の場合\ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3。シーケンス{\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ inftyは-1 \ ler \ le1の場合に収束します。
4。シーケンスの場合\ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = Lの場合、a\_nは限界Lで収束します。