ベストアンサー
スピノールは、回転やその他の特定の変換の下で異なる動作をする単なるベクトルです。 。
一般的に話すよりも、具体的な数学的な例を使用すると、スピノールについて考える方がはるかに簡単になると思います。この答えはまさにそれをするつもりです。 線形代数の入門以外の数学的知識は想定されていません。
Steaneのこのトピックに関する優れた入門論文。より完全な扱いがここで提供されます： https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf 。
以下のすべての図は彼のものです。何か問題が発生した場合は、遠慮なくコメントしてください。
スピナーとは
スピナーはベクトルだけ。それはどういう意味ですか？ベクトルのすべてのプロパティを持っていることを意味します：
- それらは一緒に加算でき、
- 乗算されます定数（スカラーとも呼ばれます）、
- 「ゼロ」スピナーなどがあります
- そしてすべてのスピナーには逆スピナーがあります。
行くことができます前に、より複雑な要件を追加します。
- 2つのスピノールは、ベクトル空間のように、明確に定義された内積を持つことができます。
- スピノールは、次のように、意味のある長さを持つことができます。他のベクトル空間。
など。
のみ それを作るスピノールの要件ベクトルとは異なり、回転させようとすると期待した結果が得られません。360度回転しようとすると同じスピノールが得られませんが、回転します。 180度で。より一般的には、角度\ thetaによる回転では、角度\ theta / 2の回転行列を使用する必要があります！
このことを念頭に置いて、ここでは、通常の3次元ユークリッド空間で想像できる単純なスピノールを使用します。これは、上記のすべてのプロパティを前提としています。これは最も単純なスピノールであり、物理学者にとって最も馴染みのあるスピノールです。
ここに「上記のスピノールの完全に有効な数学的記述があります：
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {-\ alpha- \ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {-\ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
最初のスピノールに挨拶してください！
スピノールについて考える：警告
先に進む前に、注意何か：前述したように、ユークリッド空間は3次元ですが、必要なのはスピノールを表す2つのコンポーネント！どうすればいいの？ 「すべてのベクトルは、それらが占める空間の次元と同じ数の成分を持つ必要はありませんか？
矛盾は1つの文で解決できます：スピノールはユークリッド空間に住んでいません-それらはユークリッド空間のオブジェクトに対応することができ、スピノールに行われることはユークリッド空間で行われることに対応させることができますが、それは彼らの家ではありません。
真実は、スピノールには上記のように2つのコンポーネントがないということです（この時点で、おそらく画面に目を細め、息を切らして誓っています） ）。スピノールは配置したベクトル空間のベクトルと同じ向きではありません。通常のベクトル空間のオブジェクトをモデル化できます。私がここに持っているように、しかし真のスピノールはそのような空間の通常のベクトルよりも多くのパラメータによって定義されます。
簡単に言えば、通常のベクトルの方向はr、\ theta、\ phiで定義され、スピノールの方向はr、\ theta、\ phi、\ alpha およびその符号（上記の例では正と仮定）-適切に言えば、3次元ベクトル空間は 4次元で表すことができます。スピノール（記号は2つの値しかとることができないため、次元と考えることもできますが、かなり不必要です）。
このスピノールは、4つの成分を持つベクトルとして書き出すことができます。 、各パラメーターに1つ、符号を掛けたもの-または、次のようにトリックを使用できます私はこれを行いました。スピノールには複雑なコンポーネントがあるように見せかけます。これにより同じ 2つの座標を持つ上記の表現のスピノール。これが、スピノールが実際に4つのパラメーターとそれに付随する次元を持っている場合に、3次元ベクトル空間に2つのコンポーネントがあるように見える理由です。スピノールが存在するため 3次元ベクトル空間ではなく独自の複雑な空間で。
次に進む前に、覚えておいてください ：スピノールは、同じ空間次元（つまり、空間での方向を指定するために必要なパラメーター）のみを持つ必要がありますが、スピノールを定義するパラメーターはこれらだけである必要はありません。この場合、スピノールのコンポーネントを複素数値として扱っているため、2コンポーネントの列ベクトルで非常に簡潔に記述できますが、スピノールはより多くのパラメーターを持つことができ、実際に持つことができるため、非常に注意が必要です。一緒に作業します。
実生活では、強くスピノールは実際にはないことを覚えておくことをお勧めします私たちと一緒に住んでいます-物理学の他のすべてのものと同様に、それらは数学的な抽象化であり、人生をより簡単に操作できます。私たちが実際には 3次元オブジェクトに発生しますが、スピノールを使用してそれらをモデル化し、計算をより適切にすることができます。そのため、これを実行します。
Toこのポイントを家に帰すには、次の図を検討してください。
方法に注意してくださいフラグ角度の存在は、回転と同じくらい単純な問題と、直交性を構成するものを複雑にします。これは追加のパラメーターであり、それがすべての違いを生みます。
スピノールのこの奇妙な次元によって提示される問題のため、2次元に通常の回転行列を使用することはできません。私たちが最もよく知っているのは、どこにでもある\ begin {bmatrix} \ cos {\ theta}＆-\ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta}＆\ cos {\ theta} \ end {bmatrix}です。角度。これは2次元ベクトルの場合は正しいですが、最も単純なスピノールでさえではありません。また、通常の3次元行列を使用することもできません。回転の効果をこれらの人に変換することはできますが、