ベストアンサー
複素数は2つの部分からなる数です。実数部と虚数部があります。
a + biの形式で書く傾向があります。ここで、iは負の平方根、つまり（-1）^（1/2）
、数の2乗は、それ自体の数です。これは、
（a + bi）^ 2 =（a + bi）*（a + bi）
二次方程式の因子を検討したときに、これに似た何かに遭遇したことを意味します。 2つの2つの要素の積を拡張するための体系的なアプローチがあります。頭字語「FOIL」に遭遇した可能性があります。
- 2つの F の最初の用語を乗算します
- 乗算2つの O の下位用語
- 2つの I の下位用語を乗算します
- 2つの L 最後の用語を掛けます
答えの4つの用語を合計します
同じ FOIL アプローチを適用し、（a + bi）*（a + bi）を使用して
a ^ 2 + abi + abi +（bi）^ 2
少し再編成できます。真ん中の2つの用語は同じなので、1回リストできますが、2倍になります。
a ^ 2 + 2abi +（bi）^ 2
次に、その最後の用語を見て、製品の二乗は別々の二乗の積として書くことができることを理解してください。 （x * y）^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2。
そのルールを適用しましょう：
a ^ 2 + 2abi +（（b ^ 2）*（i ^ 2））
ただし、「i」は-1の平方根です。数の平方根の二乗は、数そのものです。したがって、（i ^ 2）=（-1）^（（1/2）* 2）=（-1）^ 1 =（-1）。
これを接続しましょう。
a ^ 2 + 2abi +（（b ^ 2）*（-1））
その最後の用語はまだ醜いです。 「負の時間」を反対側に通勤させ、項全体を減算として書き直すことができます。
a ^ 2 + 2abi –b ^ 2
しかし、式では、実数部の後に虚数部が続くという形式には従いません。実数部、虚数部、そして別の実数部があります。実際のパーツを再グループ化しましょう。
a ^ 2-b ^ 2 + 2abi
（7 + 3i）^ 2 = 7 ^ 2-3 ^ 2 +（2 * 7 * 3）i = 49-9 + 42i = 40 + 42i
回答
まず、複素数a + biを順序対（a、b）と考えます。 ）。 x軸が通常である水平REALAXISとy軸が通常である垂直IMAGINARYAXISを使用する複素平面では、通常の方法で点（a、b）をグラフ化します。さて、原点から点（a、b）までの距離は、複素数のモジュラスと呼ばれていると思います。それをrと呼びましょう。
r = sqrt（a ^ 2 + b ^ 2）ピタゴラスの定理による。（表記については申し訳ありませんが、私はそれに限定されます。）
また、正の実軸と原点から（a、 b）シータと呼びます（そのためにTを使用しましょう）。（これは複素数の引数と呼ばれます）
これで、複素数a + biは極形式で次のように書くことができます
a + bi = r（Cos T + iSin T）since
a = rCosTおよび。b= r Sin T
の平方根を取るa + bi、極形式を使用します。
Sqrt（a + bi）= sqrt（r）（Cos T / 2 + iSin T / 2）
つまり、これを作成するには単純です。原点から（a、b）までの線が入った複素数a + biのグラフを見てください。次に、線をx軸の半分まで回転させ、平方根まで短くします。その端点の座標は複素数の平方根です。平方根はそこからわずか180度です。
それを証明するために、Z = -4の平方根を取りましょう。
グラフは負の実軸上の点です。 、原点の左側に4単位。角度T = 180度。
-4の平方根を取得するには、線を90度（180の半分）に回転して戻し、長さを4の平方根の2に短くします。虚軸上で2単位巻き上げます。したがって、-4の平方根は2iです。もう一方の平方根は、180度離れた-2iです。
記号の場合：
-4 = 4（cos 180 + iSin 180）
Sqrt（-4）= 2（cos 90 + iSin 90）= 2（0 + i）= 2i
および2（cos 270 + iSin 270）= 2（0 + -1i）= -2i
（i）の平方根を取得するには
（i）= 1（cos 90 + isin 90）
sqrt（i）= 1（cos 45 + isin 45）
=ラジカル2オーバー2+（i）ラジカル2オーバー2