ベストアンサー
書きたくなる
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 =（1 + i）/ \ sqrt {2}
次に、次のように記述します
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {-i \ pi / 2}} = e ^ {-i \ pi / 4} =（1-i）/ \ sqrt {2}
合計は次のようになります。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
これは、2、3回はあまり好きではありません。理由。まず、\ sqrt {i}の値の数の問題を無視します。
実数に適用される部首を主値として定義したので、y = \ sqrt {x}は関数です。 。複素平方根の主値はより複雑で（最小の非負の角度のような規則）、うまく機能しません。
私の見解は、2つの平方根があると言うことです。 。 \ sqrt {i}は複数値であり、i ^ {\ frac 12}と同じです。
\ sqrt {i} = \ pm（1 + i）/ \ sqrt {2}
指数定式化で私が抱える2番目の問題は、極座標への即時ジャンプです。超越関数とその逆関数を含む曲がりくねったルートを自動的に取得します。複素数の平方根はそれを必要としません。確認できます
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left（\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn}（b）\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right）
非標準の\ textrmが必要な場合{sgn}（0）= +1。
a = 0、b = 1であるため、
\ sqrt {i} = \ pm（\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}）= \ pm（1 + i）/ \ sqrt {2}
トリガー関数は必要ありません。同様に、a = 0、b = -1は次のようになります
\ sqrt {-i} = \ pm（1-i）/ \ sqrt {2}
合計は4つあるようです可能な値：
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} =（\ pm（1 + i）\ pm（1-i））/ \ sqrt {2}
括弧内の値を計算してみましょう。
（1 + i）+（1-i）= 2 \ quad（1 + i）-（1-i）= 2i
-（1 + i）+（1-i）=-2i \ quad-（1 + i）-（1-i）=-2
したがって、実際には4つの値があります。\ pm \ sqrt {2}、\ pm i \ sqrt {2}
これは次のように書くことができます
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
考慮すべきもう1つの問題があります。共役のように見える式を書くとき、複数の値が考慮されるとき、共役関係が維持されることを意味することがあります。一例は、凹んだ立方です。
x ^ 3 + 3px = 2qには解があります
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q- \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
これらの立方根のそれぞれは、複素数に対して3つの値を持っています。しかし、立方体自体には3つの解決策しかありません。したがって、この式を9つの異なる値として解釈したくなるかもしれませんが、3つだけを意味していることはわかっています。 2つの立方根は共役であることが意図されているため、そのようにペアにする必要があります。
この解釈では、常に共役を追加しているため、実際の解が得られます。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} =（（1 + i）+（1-i））/ \ sqrt {2}または（-（1 + i）-（1-i））/ \ sqrt {2 }これは\ pm \ sqrt {2}です。
最後に、部首を主値として解釈すると、\ sqrt {i} =（1 + i）/ \ sqrt {2}が得られます。第1象限であり、\ sqrt {-i}の主値として第2象限と第4象限のどちらかを選択する必要があります。 「最小正角」ルールは、第2象限\ sqrt {-i} =（-1 + i）/ \ sqrt {2}を提案します。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } =（1 + i）/ \ sqrt {2} +（-1 + i）/ \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
ちょっとした混乱、これらすべての異なる解釈。
回答
\ text {let：} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} =-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega is単位の3番目の平方根：z ^ 3 = 1。
この方程式の平方根は次のとおりです：1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
次のようになります：u ^ 3 = 2 + 2iおよび（-1 + i）^ 3 =（-1 + i）^ 2（-1 + i）=-2i（-1 + i）= 2 + 2i
つまり：
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 =（-1 + i）^ 3
\\\ iff \ left（\ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} \ right）^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 、2}
\\\ iff u =（-1 + i）\ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
つまり：
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re（u）
次のようになります：
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {（-1 + i）} =- 2 \\\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {（-1 + i）\ omega} = 2 \ Re { （-1 + i）\ left（-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right）} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {（（-1 + i）\ omega ^ 2）} = 2 \ Re {（-1 + i）\ left（-\ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right）} = 1 + \ sqrt3