ベストアンサー
書きたくなる
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 =(1 + i)/ \ sqrt {2}
次に、次のように記述します
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {-i \ pi / 2}} = e ^ {-i \ pi / 4} =(1-i)/ \ sqrt {2}
合計は次のようになります。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
これは、2、3回はあまり好きではありません。理由。まず、\ sqrt {i}の値の数の問題を無視します。
実数に適用される部首を主値として定義したので、y = \ sqrt {x}は関数です。 。複素平方根の主値はより複雑で(最小の非負の角度のような規則)、うまく機能しません。
私の見解は、2つの平方根があると言うことです。 。 \ sqrt {i}は複数値であり、i ^ {\ frac 12}と同じです。
\ sqrt {i} = \ pm(1 + i)/ \ sqrt {2}
指数定式化で私が抱える2番目の問題は、極座標への即時ジャンプです。超越関数とその逆関数を含む曲がりくねったルートを自動的に取得します。複素数の平方根はそれを必要としません。確認できます
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left(\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn}(b)\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
非標準の\ textrmが必要な場合{sgn}(0)= +1。
a = 0、b = 1であるため、
\ sqrt {i} = \ pm(\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2})= \ pm(1 + i)/ \ sqrt {2}
トリガー関数は必要ありません。同様に、a = 0、b = -1は次のようになります
\ sqrt {-i} = \ pm(1-i)/ \ sqrt {2}
合計は4つあるようです可能な値:
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} =(\ pm(1 + i)\ pm(1-i))/ \ sqrt {2}
括弧内の値を計算してみましょう。
(1 + i)+(1-i)= 2 \ quad(1 + i)-(1-i)= 2i
-(1 + i)+(1-i)=-2i \ quad-(1 + i)-(1-i)=-2
したがって、実際には4つの値があります。\ pm \ sqrt {2}、\ pm i \ sqrt {2}
これは次のように書くことができます
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
考慮すべきもう1つの問題があります。共役のように見える式を書くとき、複数の値が考慮されるとき、共役関係が維持されることを意味することがあります。一例は、凹んだ立方です。
x ^ 3 + 3px = 2qには解があります
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q- \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
これらの立方根のそれぞれは、複素数に対して3つの値を持っています。しかし、立方体自体には3つの解決策しかありません。したがって、この式を9つの異なる値として解釈したくなるかもしれませんが、3つだけを意味していることはわかっています。 2つの立方根は共役であることが意図されているため、そのようにペアにする必要があります。
この解釈では、常に共役を追加しているため、実際の解が得られます。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} =((1 + i)+(1-i))/ \ sqrt {2}または(-(1 + i)-(1-i))/ \ sqrt {2 }これは\ pm \ sqrt {2}です。
最後に、部首を主値として解釈すると、\ sqrt {i} =(1 + i)/ \ sqrt {2}が得られます。第1象限であり、\ sqrt {-i}の主値として第2象限と第4象限のどちらかを選択する必要があります。 「最小正角」ルールは、第2象限\ sqrt {-i} =(-1 + i)/ \ sqrt {2}を提案します。
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } =(1 + i)/ \ sqrt {2} +(-1 + i)/ \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
ちょっとした混乱、これらすべての異なる解釈。
回答
\ text {let:} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} =-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega is単位の3番目の平方根:z ^ 3 = 1。
この方程式の平方根は次のとおりです:1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
次のようになります:u ^ 3 = 2 + 2iおよび(-1 + i)^ 3 =(-1 + i)^ 2(-1 + i)=-2i(-1 + i)= 2 + 2i
つまり:
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 =(-1 + i)^ 3
\\\ iff \ left(\ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} \ right)^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 、2}
\\\ iff u =(-1 + i)\ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
つまり:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re(u)
次のようになります:
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(-1 + i)} =- 2 \\\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(-1 + i)\ omega} = 2 \ Re { (-1 + i)\ left(-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {or} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((-1 + i)\ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(-1 + i)\ left(-\ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1 + \ sqrt3