ベストアンサー
楕円は押しつぶされた円なので、同等の円と見なすことができます。これは単なる概算であり、楕円の周囲の正確な値ではありません。
楕円の方程式は次のとおりです。
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
a = b = rの場合、これは円の方程式になります。したがって、円の等価半径の方程式を「a」と「b」で書くことができます。
「a」と「b」の平均を取るのではなく、次の式でより良い近似が得られます。 aと bの二乗平均平方根を取ります。
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
したがって、楕円のおおよその周囲長は次のようになります。
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
そこにはもっと良い近似がありますが、これで十分だと思います。
これがお役に立てば幸いです。
回答
楕円の円周を見つけることができるかどうか試してみましょう。
楕円と半長軸aと半短軸bの方程式は次のとおりです。
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
グラフ（ここではペイントを使用する必要があります。私の数学ソフトウェアにはライセンスの更新が必要です）：
円周を見つけるには、この円周の一部\ text {d} sを\ text {d} x、\ text {d} yの関数として表現し、うまくいけば到着する必要があります。いくつかの使用可能な式で。
\ text {d}を直線で近似できると仮定すると、ピタゴラスを適用できます。
（\ text {d} s） ^ 2 =（\ text {d} x）^ 2 +（\ text {d} y）^ 2 \ tag * {}
または
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {（\ text {d} x）^ 2 +（\ text {d} y）^ 2} = \ sqrt {1+ \ left（\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right）^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
常に\ text {d} x> 0を取るか、左からに移動すると仮定します主軸に沿って右。
残っているのは広告だけです。 d弧長のこれらの小さな寄与。楕円がx、y軸で対称であるため、x \ in [0、a]を考慮し、4を掛けることができます。
次のことがわかりました：
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left（\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right）^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
表現する（良い）方法が見つかった場合：
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
私たちはビジネスを行っています。
ただし、yをxに関連付ける式（1）はすでにあります。計算時間（3）、暗黙の微分を使用します。
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
または
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} =-\ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
または
\ displaystyle \ left（\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right）^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
xのみを使用してこれを記述できる必要があります。もう一度（1）を使用します：
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2（1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}）\ tag {5}
（5）を（4）に代入します：
\ displaystyle \ left（\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right）^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
（2）に代入：
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
この積分を書き直すには、いくつかのオプションがあります。1つのオプションは、x = az、\ text {d} x = a \ text {d} zを設定することで、次のようになります。
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
別の方法は、次の形式の楕円のパラメータ化を使用することです。
\ begin {array} {ll} x＆= a \ cos（\ theta）\\ y＆ = b \ sin（\ theta）\ end {array} \ tag * {}
これにより、多かれ少なかれ標準的なアプローチである第2種の楕円積分が得られます。
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2（\ theta）} \ text {d} \ theta \ tag {8}
with
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
楕円の離心率。
式（6,7）と（8）を比較すると、（6、 7）。最後の式は、パラメータeが単純であるだけでなく、適切に動作します。式（6,7）では、x \ to a、z \ to1の場合でも問題が発生します。
ただし、結果の閉じた形の式はありません。円の場合、e = 0であり、（8）は2 \ pi aにうまく減少します。これは、（6,7）にも当てはまります。