ベストアンサー
簡単に言えば、不変量は、何らかの変換や数学演算の後でも変化しないプロパティです。非常に良い例がウィキペディアにあります-
ニュートンの重力法を例にとってみましょう。 2つの物体間の重力は、宇宙のどこでも同じになります。これらの2つの物体間の重力は、今日では1000年前と同じになります。これらのボディを移動する方向に関係なく、力は同じです。これは不変量の例です。
応力不変量は、変換の影響を受けない応力行列のプロパティです。応力状態は、マトリックスで表すことができます。このマトリックスの静水圧応力成分は、マトリックスの対角項の平均（主応力）に等しくなります。これらの対角項の総和は、いわゆる最初の不変量（行列のトレースとも呼ばれます）です。
したがって、行列の状態を静水圧と固有値の総和として分割できます。応力-
固有値と固有ベクトルを決定するために、方程式| A –Lamda I |を使用します。 * V = 0。同様に、応力状態の場合、上記の形式に類似した次の方程式を使用します-
nj =固有ベクトル、Sigma =固有値、デルタij =クロネッカーデルタとも呼ばれる単位行列。この単位行列= 1は、i = jであり、他のすべての場所では0に等しい対角線の位置にあります。
これで、次の形式を確立できます
正しく覚えていれば、これは応力行列の偏差成分です。以下の特性方程式から、不変量は特性方程式の応力項の係数であることがわかります。
ここで、I1、I2、およびI3は応力行列の不変量です。
a。 I1は行列のトレースであり、対角項の合計です。最初の不変量。
b。 I2は、行列の小行列式の合計です。 2番目の不変量。
c。 I3 =行列の行列式の値。 3番目の不変量。
T 行列で実行された変換にもかかわらず、これらの値は同じままであるため、これらはすべて不変量です。
上記の手順で、偏差行列を確立し、それがJ1であることがわかり、このJ1は0に等しいことがわかりました。J1= 0の場合、対角項の合計= 0です。したがって、この平均（静水圧応力= 0とも呼ばれます。したがって、偏差成分の静水圧応力は0に等しく、これは純粋なせん断の状態であることを意味します。
回答
応力は通常、3 * 3行列と考えることができる2次対称テンソルとして表されます。現在、テンソルには次のようなものがあります。基底の変化によって変化しない不変量。2次または次数のテンソルには3つの主要な不変量があります（応力、ひずみ、慣性モーメントはすべてこれに該当します）。これらは、bがasisが変更されました。 基底変換の意味を理解するために、材料力学の基本強度の問題について考えてみましょう。ここでは、与えられた一連の座標軸（基底）に対して傾斜した平面上で結果として生じる法線応力とせん断応力を見つけようとします。モールの応力円のすべての処理を実行して、新しい基底（傾斜に沿って垂直な新しい座標軸）に沿って応力成分を見つけることができます。したがって、以前と現在の応力テンソルを考慮すると、要素ごとに変化しています。 （ただし、両方とも対称です）が、次の量は同じままです
- 行列のトレース
- 行列の補因子のトレース
- 行列の行列式。
これらは3つの主要な「不変量」です。