ベストアンサー
この合計の導出は、
\の導出と同様です。 displaystyle \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n（n + 1）} {2} \ tag * {}
Let
S = 1 + 3 + 5 + \ dots +（2n-1）\ tag * {（1）}
加算は可換であるため、次のようにSを逆に書くことができます
S = （2n-1）+（2（n-1）-1）+（2（n-2）-1）+ \ dots + 1 \ tag * {（2）}
これら2つを追加する用語ごとの表現は次のようになります
S + S = 2S =（1 +（2n-1））+（3 +（2（n-2）-1））+ \ dots（1 +（ 2n-1））\ tag * {（3）}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {（4）}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {（5）}
ここから、明らかに次のようになります
S = n ^ {2} \ tag * {（6）}
これは、誘導によって証明できる既知の結果です。これについては、今すぐ実行します。これを行うには、次のことを示す必要があります
H\_ {0}：\ {1 + 3 + 5 + \ dots +（2n-1）= n ^ {2} \}、\ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {（7）}
（注：仮説ステートメントの省略形の参照としてH\_ {0}を使用します）
H\_ {を示すため0}は誘導を介して成り立つので、基本ケースn = 1と、誘導ケースn = k + 1、k \ in \ mathbb {N}について等式が成り立つことを示さなければなりません。 1 = 1 ^ {2} = 1であるため、基本ケースは明らかです。これにより、誘導ケースが残ります。
k ^ {2} + 2（k + 1）-1 =（k + 1 ）^ {2} \ tag * {（8）}
k ^ {2} + 2k + 1 =（k + 1）^ {2} \ tag * {（9）}
（k + 1）^ {2} =（k + 1）^ {2} \ tag * {（10）}
k + 1についても同等であることがわかり、それによってH\_ {0}が確かに真であることを証明します。したがって、（6）の導出は確かに正しいと断言できます。
1 + 3 + 5 + \ dots +（2n-1）= n ^ {2} \ tag * {}
回答
見てみましょう。少なくとも最初のいくつかのインスタンスは誰でも観察できますよね？
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
さて、右側の数字を認識しますか？
1,4,9,16,25、\ ldots
はい！は完全な正方形です。1\ times 1、2 \ times 2、3 \ times 3、4 \ times4など。
推測ができました。テストしてみましょう：
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
はい！予測したとおり、6つの最小の奇数の合計は6 ^ 2になります。もう少し試してみることができます。それは機能します。
私たちが物理学者であれば、ここでやめます。私たちは「観察を行い、仮説を立て、仮説を実験的に1回と2回、100回テストしました。それは常に機能し、実行されます。私たちの理論は、実験が反論するまで正しいです。
数学者ですよね。証拠が必要です。そして、この素敵な小さな事実の厳密な証拠がたくさんあります。
しかし、非常に明確な視覚的証拠もあります。ここにあります：
編集：多くの人が厳密な証明を求めています。ここでは、この視覚的な証明から導き出すことができる比較的単純なものです。
奇数は次のように、連続する正方形間の違いだけです。
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
など。したがって、それらを合計すると、最後の正方形を除いてすべてがキャンセルされます：
1 + 3 + 5 + 7 =（1 ^ 2-0 ^ 2）+（2 ^ 2-1 ^ 2）+ （3 ^ 2-2 ^ 2）+（4 ^ 2-3 ^ 2）= 4 ^ 2
では、これを、任意の数の奇数を合計するために正式に記述しましょう。 k、
2k + 1 =（k + 1）^ 2-k ^ 2
したがって、最初のn個の奇数の合計は
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
は
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1と等しい}（k + 1）^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED