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この合計の値（で表される）\; \; S \; \;およそ\; \; \; \ frac {2} {3}。\ Big（\;（n-2）\ sqrt {n + 1} \;-\; 2 \ sqrt {2} \; \ Big） \; + \; 1 \; \;
次のように正当化できます：
\; \; A（n）\; = \; \ int\_ {1} ^ {n + 1} \; \ sqrt {x} \; dx \; = \; \ frac {2} {3}。\ big（\;（n + 1）^ {\ frac {3} {2}} \;-\; 2 ^ {\ frac {3} {2}} \; \ big）\; \; \;曲線の下の領域を指定します\; \; y \; = \; \ sqrt {x} \ ;、\; X軸と\; \; x \; = \; 1 \; \; and \; \; x \; = \; n + 1 \;。\;….。の縦座標………….（1）
必要な合計\; \; S（n）\; \;は\; \; nの面積として解釈できます\; \;幅\; \; 1 \; \;高さ\; \; \ sqrt {j} \; \;の長方形の垂直バー\; \; X-\; \;軸に立てられた\; \; j \ ; = \; 1,2,3、..、n \; \;（\; \; j ^ {th} \; \;長方形の垂直辺は、\; \; x = j \; \;および\; \; x = j + 1 \の縦座標の一部です。 ; \;）
適切な近似を得るには、誤差項\; \; E（n）\; = \;を減算する必要があります。 （1）からの曲線と平方根の間の領域。
\; \; E（n）\; \ approx \; \ sum\_ {j = 1} ^ {n}に注意してください。 \; \ big（\; \ sqrt {j + 1} \;-\; \ sqrt {j} \; \ big）\; = \; \; \ sqrt {n + 1} \;-\; 1 \ ; \; ………………….（2）
単純化すると、\; \; S（n）\; \が得られます。約\; A（n）\;-\; E（n）\; = \; \ frac {2} {3}。\ Big（\;（n-2）\ sqrt {n + 1} \;- \; 2 \ sqrt {2} \; \ Big）\; + \; 1 \; \;
回答
以前に質問されたことがあります。
最初のn個の自然数の平方根の合計は何ですか？
次に、与えられた論文を見てください。
この興味深いことを私に尋ねて指摘してくれてありがとう、しかしこれは自分で解決することは不可能です。