ベストアンサー
この質問に対してここで見つけることができる2つの答えがあります。
- -1/12
- 無限大
明らかに\ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} nは発散します。しかし、なぜ一部の人々は-1/12と答えるのですか？どちらも正しいからです。
これは、物理理論の理解に不可欠な概念の最も単純な例の1つである正則化です。 -1/12という数字は、一見不条理に見えますが、いわゆるカシミールエネルギーの物理的解釈を保持しています。
量子論で物理量を計算しようとすると、無限大になることがよくあります。その時点で私たちは答えを捨てることができますが、これは私たちをどこにも導きません。あるいは、それを理解しようとすることもできます。そのために、無限大から有限の答えを抽出しようとします。このプロセスは正則化と呼ばれます。発散級数（または積分）を体系的に正規化する方法はたくさんありますが、重要な点は、これらすべての方法で同じ有限の結果が得られることです。特に、上記の合計は常に-1/12になります。これ自体は、-1 / 12が完全に不条理ではないことを示唆しています。
以下の説明は、主にBirrel and Davies-Quantum Fields in CurvedSpaceのセクション4.1から派生しています。議論の要点を提示します。
2次元（1つの時間方向と1つの空間）の質量のないスカラー場を検討するとします。質量のないスカラー場は電磁場に非常に似ていますが、はるかに単純です。また、円周Lの円上のスカラー場を制限しましょう。これで量子システムが定義され、このシステムの最小/基底状態エネルギーを含むさまざまな量の計算を試みることができます。基底状態のエネルギーはE\_L =（2 \ pi / L ^ 2）\ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} nであることがわかります。
これで、この積分を正規化して、 E\_L =-\ pi /（6L ^ 2）。重要な点は、このシステムと、スカラー場が無限の長さの線（本質的に円周をとっている）に制限されている別の同様のシステムの基底状態エネルギーの差を計算しようとした場合に、これが正確に得られることです。円は無限になります）。明らかに、この正規化されたエネルギーは物理的な量であり、実際にはラボで測定できます。
ステートメント\ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1 / 12と結論付けます。は無効ではありません。
編集：
以下は、合計を正規化する1つの方法です。
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {-\ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0}-\ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {-\ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {-\ alpha}} {\ left（1- \ exp ^ {-\ alpha} \ right）^ 2}
予想どおり、上記の制限は発散します、ただし次のように記述できます
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2}-\ dfrac {1} {12} + O（ \ alpha ^ 2）
これは、発散総和から正規化された有限部分を取得する方法です。合計を正則化する方法は決して一意ではありませんが、合計の有限部分は常に-1/12です。
回答
「is」または”平等”？これが、すべての自然数の合計に関する混乱の根底にある質問です。
有限の合計
「有限の合計に問題はありません：
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
は、a\_i \ in \ mathbbRの任意のシーケンスに対して完全に明確に定義されています。加算の可換性と関連性のおかげで、依存することすらありません。 a\_iの順序：結果に影響を与えることなく、任意の順序でシーケンスをシャッフルできます。
無限系列
しかし、無限のシーケンス（a\_i）に到達すると、無限の合計は何を意味するのでしょうか。 とはですか？
最も単純で、最も安全で、デフォルト意味は、有限和の制限です。つまり、無限和の定義は次のとおりです。
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
このシリーズが完全に収束するとき、すべてが順調でダンディです。次のことができます。
- 結果に依存する;
- 用語の順序を入れ替える;
- 2つのそのようなシリーズを加算または減算する;さらに
- 2つのネストされた合計の順序を切り替えます。
- 存在しない可能性があります;
- 順序に依存する可能性があります。または
- 定義するために「ファンシーメソッド」が必要な場合があります
どちらの用語も操作できませんシーケンスまたはこのような2つのシーケンスを加算/減算します。
これは、自然数の合計の場合です。
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n（n + 1）
これは明らかにn \ to \ inftyとして+ \ inftyに分岐するため、標準のデフォルト値は存在しません。そして、それはほとんどの人が行くべき範囲です。
ファンシーメソッド
完全に行わない場合でも、上記のすべての正確な意味をよく理解して、「ファンシーメソッド」に移行しないでください。同様に、絶対収束しないシーケンスを操作する人は、ゼロで除算するかのように扱う必要があります。結果は同じように信頼できます。
ディリクレ級数：
\ quad \ displaystyle f（s）= \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
（a\_n）が制限されている場合、この級数は、実数部が厳密に1より大きい\ Re（s）> 1のすべてのs \ in \ mathbbCに対して絶対収束します。 \ Re（s）\ leq1の場合、私たちはあまり堅実ではありません…
解析接続
f（ s）は、開いた半平面上で\ Re（s）> 1で定義された分析関数であり、本質的に一意の解析接続。すべてのa\_nが1である場合の続き、f\_1（s）は、リーマンゼータ関数です：
\ quad \ displaystyle \ zeta（s ）= \ frac1 {\ Gamma（s）} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
where \ displaystyle \ Gamma（s）= \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {-x} \ text {d} xはガンマ関数です、階乗関数の分析的拡張。
\ Re（s）> 1の場合、\ zeta（s）= f\_1（s）。
s =の場合-1：
- \ zeta（-1）=-\ frac1 {12}
- f\_1（-1）= 1 + 2 + 3 + \ dotsbが収束しない
ゼータ関数の正規化と呼ばれる処理を実行する場合は、がアサート
\ quad \ displaystyle \ zeta（-1）=-\ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
ただし、「平等」とは何を意味し、合計は「何であるか」をいじっていることに注意してください。
それはすべて問題ありませんが、ここまで来れば、どれだけ必要かがわかります。あなたがしていることを理解することを知っています。ナンバーフィルのビデオで通常得られるよりもはるかに多くの…