ベストアンサー
ランク2の反変テンソルは、インデックスの順列の下で不変である場合、対称です。その成分は、インデックスの交換時に変化せず、以下を満たします。
T ^ {pq} = T ^ {qp}
同様に、ランク2の共変テンソルは対称です。インデックスの並べ替えの下で不変であり、そのコンポーネントが次の条件を満たす場合：
T\_ {pq} = T\_ {qp}
ランク2のテンソルは通常、行列で表すことができます。したがって、テンソルの対称性は、それを表す行列の対称性に本質的に関連しています。対称（正方）行列のエントリがA =（a\_ {pq}）として表される場合、すべてのインデックスpおよびqに対してa\_ {pq} = a\_ {qp}であることが知られています。対称行列はその転置に等しい（{\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}}）。
2番目のランクの対称テンソルの例には、メトリックテンソルg \_ {\ mu \ nu}が含まれます。 、または次のように行列形式で記述できるCauchyストレステンソル（{\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}）：
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11}＆\ sigma \_ {12}＆\ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21}＆\ sigma \_ {22}＆\ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31}＆\ sigma \_ {32}＆\ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx}＆\ sigma \_ { xy}＆\ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx}＆\ sigma \_ {yy}＆\ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx}＆\ sigma \_ {zy}＆\ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
たとえば、次の形式のより高いランクのテンソルがある場合
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr}、
テンソルはmとpで対称であると言われます。
任意の2つの逆変量と任意の2つに関して対称なテンソル2つの共変指数は対称であると言われます。
テンソルは、次の場合にスキュー対称または非対称と呼ばれます
T\_ {qs} ^ {mpr} = -T\_ {qs} ^ {pmr}。
一般的な場合、対称テンソルは、ベクトル引数の順列の下で不変のテンソルです。
{\ displaystyle T（v\_ {1}、v\_ {2}、\ ldots、v\_ {r}）= T（v\_ {\ sigma 1}、v \_ {\ sigma 2}、\ ldots、v \_ {\ sigma r}）}
すべての順列σシンボル{1、2、…、 r }。または、次数またはランクの対称テンソル r は、 r の量として座標で表されます。インデックスが満たす
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}。}
回答
行列は、あるフィールド（通常は\ mathbb {R}または\ mathbb {C}ですが、常にではありません）からの要素の長方形配列です。別の行列による乗算と定義された体要素による乗算の操作。
行列は、さまざまなものを表すために使用されます。
- 線形方程式の係数
- 線形変換（特定の順序付けられた基底ベクトルのセットが与えられた場合）
- ベクトル空間の基底の変更（2つの順序付けられた基底ベクトルのセットが与えられた場合）
- テンソル（具体的には次数2テンソル）
- 特定のグループ
- など
これらの使用法のいくつかは混乱する可能性があります：コンテキストのない非特異な正方形行列を考えると、それが線形変換（またはそれがどの基底であるか）、基底変換、またはテンソルを表しているかどうかを見分けることは不可能です。
要するに、行列は非常に一般的です。
テンソルは、ベクトルと汎関数（双対ベクトル）の多重線形汎関数です。言い換えると、次数n + mのテンソルは、実数または複素数を返すn個のベクトルとm個の二重ベクトルの関数であり、そのすべての引数で線形です。
有限次元ベクトル空間のテンソルベクトル空間のフィールドからの要素のn + m次元配列で表すことができ、2次テンソルの場合、これは多くの場合、行列として表されます。線形変換の行列表現と同様に、テンソルの多次元配列表現は、使用される基底に依存します。
テンソルは、しばしば記述され、使用され、場合によっては定義フィールド要素の多次元配列の観点から、基底ベクトルの微分変化に関してテンソルがどのように変換されるかという制限があります。しかし、本質的には、ベクトル上の多重線形汎関数と線形汎関数です。