ベストアンサー
\ tan 18 ^ oの値を決定します。
\ alpha = 36 ^ o。
次に、5 \ alpha = 180 ^ o \ qquad \ Rightarrow \ qquad 2 \ alpha = 180 ^ o-3 \ alpha。
\ Rightarrow \ qquad \ tan 2 \ alpha =-\ tan 3 \ alpha。
\ Rightarrow \ qquad \ frac {2 \ tan \ alpha} {1- \ tan ^ 2 \ alpha} =-\ left （\ frac {3 \ tan \ alpha- \ tan ^ 3 \ alpha} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right）=-\ left（\ frac {\ tan \ alpha（3- \ tan ^ 2 \ alpha）} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right）。
\ tan \ alpha = \ tan 36 ^ o \ ne0。
\ Rightarrow \ qquad \ frac {2} {1- \ tan ^ 2 \ alpha} =-\ left（\ frac {3- \ tan ^ 2 \ alpha} {1-3 \ tan ^ 2 \ alpha} \ right）。
\ Rightarrow \ qquad 2-6 \ tan ^ 2 \ alpha = -3 + 4 \ tan ^ 2 \ alpha- \ tan ^ 4 \ alpha。
\ Rightarrow \ qquad \ tan ^ 4 \ alpha -10 \ tan ^ 2 \ alpha + 5 = 0。
\ Rightarrow \ qquad \ tan ^ 2 \ alpha = 5 \ pm \ sqrt {25-5} = 5 \ pm \ sqrt {20}。
0 tan ^ 2 36 ^ o なので、1未満のルートのみを考慮します。
\ Rightarrow \ qquad \ tan ^ 2 \ alpha = 5- \ sqrt {20}。
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ alpha = \ tan 36 ^ o = \ sqrt {5- \ sqrt {20}}。
\ beta = 18 ^ oとします。
\ Rightarrow \ qquad \ alpha = 2 \ beta。
\ Rightarrow \ qquad \ tan 2 \ beta = \ sqrt {5- \ sqrt {20}} = k。
\ Rightarrow \ qquad \ tan 2 \ beta = \ frac {2 \ tan \ beta} {1- \ tan ^ 2 \ beta} = k。
\ Rightarrow \ qquad 2 \ tan \ beta = kk \ tan ^ 2 \ beta \ qquad \ Rightarrow \ qquad k \ tan ^ 2 \ beta + 2 \ tan \ beta-k = 0。
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ beta = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1 + k}} {k} = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1 + \ sqrt {5- \ sqrt {20}}}} {\ sqrt {5- \ sqrt {20}}} = \ frac {-1 \ pm \ sqrt {1+ \ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}} {\ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}
0以降\ tan 18 ^ o 、正のルートのみを考慮します。
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ beta = \ tan 18 ^ o = \ frac {-1+ \ sqrt {1+ \ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}}} {\ sqrt {5-2 \ sqrt {5}}} = 0.32492。
回答
質問の整理計算が簡単です。
Q：tan（10）-tan（50）+ tan（70）= [tan（70）-tan（50）] + tan（10）
質問を2つの部分に分けて、次に進みましょう。
- Tan（70）-tan（50）
- 1 + tan（10）の結果
IDを知る必要があります：
- Tan（A + B）= \ frac {tan（ A）+ tan（B）} {1-tan（A）tan（B）}
- Tan（AB）= \ frac {tan（A）-tan（B）} {1 + tan（ A）tan（B）}
ステップ1：
Tan（70）-tan（50）= tan（60 + 10）-tan（60-10 ）= [\ frac {tan（60）+ tan（10）} {1-tan（60）* tan（10）}]-[\ frac {tan（60）-tan（10）} {1 + tan（ 60）* tan（10）}]
LCMの取得
Tan（70）-tan（50）= \ frac {（tan（60）+ tan（10））* （1 + tan（60）* tan（10））-（tan（60）-tan（10））*（1-tan（60）* tan（10））} {1 ^ 2-（tan（60） * tan（10））^ 2} = \ frac {（√3+ tan（10））*（1 +√3* tan（10））-（√3-tan（10））*（1-√3 * tan（10））} {1 ^ 2-（√3* tan（10））^ 2} = \ frac {（√3+ 3tan（10）+ tan（10）+√3tan^ 2（10）- √3+ 3tan（10）+ tan（10）-√3tan（10）} {1 ^ 2-（√3* tan（10））^ 2} = \ frac {8 * tan（10）} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2（10）}
ステップ2：
[tan（70）-tan（50）] + tan（10）= [\ frac {8 * tan（10）} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2（10）}] + tan（10）
= \ frac {8 * tan（10）+ tan（10）-3 * tan ^ 3（10）} {1 ^ 2-3 * tan ^ 2（10）}
= 3 * \ frac {3 * tan（10）+ tan ^ 3（10）} { 1 ^ 2-3 * tan ^ 2（10）}
= 3 * tan（3 * 10）[ID tan3A = \ frac {3tana –tan ^ 3a} {1-3tan ^を使用します2a}]
したがって、
tan（10）-tan（50）+ tan（70）= 3 * tan（30）
= 3 * \ frac {1} {√3}
=√3
幸せな数学!!