ベストアンサー
A2A。
tan40°の値は、標準の三角関数の合計を使用して見つけることはできません。差またはサブマルチプル角度の式。ただし、3次方程式を解くのに慣れている場合は、この方法が役立つ場合があります—
わかっています
tan 3x = \ frac {3tan x-tan ^ 3 x} {1– 3tan ^ 2 x}
この式でxを40°に代入—
tan120°= \ frac {3tan40°-tan ^ 340°} {1–3tan ^ 240°}
tan40°をyと書く—
-\ sqrt {3} = \ frac {3y-y ^ 3} {1–3y ^ 2}（tan 120 °は標準値であり、-\ sqrt {3}）
⇒-√3+3√3y^ 2 = 3y-y ^ 3
⇒y^ 3に等しい+3√3y^ 2–3y-√3 = 0
この方程式を解くと、3つの値が得られ、そのうち正の値はtan40°になります。
したがって、およそ、 tan40°= 0.8394。
回答
\ tan 40 ^ oの値は何ですか？
\ tan 40 ^ oの値を見つけることができます\ tan xのテイラー級数を使用して任意のレベルの精度に。
実数または複素数の点aで無限に微分可能な実数または複素数の値の関数f（x）のテイラー級数は次の式で与えられます。 、
f（x）= f（a）+ \ frac {f “（a）} {1！}（xa）+ \ frac {f” “（a）} {2！}（ xa）^ 2 + \ frac {f “” “（a）} {3！}（xa）^ 3 + \ cdots \ cdo ts
これは、f（x）= \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {f ^ {（n）}（a）} {n！}（ xa）^ n、
\ qquadここで、f ^ {（n）}（a）は、x = aでのf（x）のn ^ {th}導関数を示します。
三角関数の場合、角度は度ではなくラジアンで表す必要があることに注意してください。
\ tan 40 ^ o = \ tan \ left（45 ^ o-5 ^ o \ right）= \ tan \ left（\ frac {\ pi} {4}-\ frac {\ pi} {36} \ right）= \ tan \ left（\ frac {2 \ pi} {9} \ right）。
x = \ frac {2 \ pi} {9}とa = \ frac {\ pi} {4}を取ると、（xa）=-\ frac {\ pi} {36}になります。
a = \ frac {\ pi} {4}では、\ tanxは無限に微分可能です。
f（x）= \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f（ a）= f \ left（\ frac {\ pi} {4} \ right）= 1。
f “（x）= \ sec ^ 2x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f”（a） = f “\ left（\ frac {\ pi} {4} \ right）= 2。
f” “（x）= 2 \ sec ^ 2x \ tan x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “”（a）= f “” \ left（\ frac {\ pi} {4} \ right）= 4。
f “” “（x）= 4 \ sec ^ 2x \ tan ^ 2 x + 2 \ sec ^ 4x \ qquad \ Rightarrow \ qquad f “” “（a）= f” “” \ left（\ frac {\ pi} {4} \ right）= 16。
\ Rightarrow \ qquad \ tan \ left（\ frac {2 \ pi} {9} \ right）\ a pprox 1- \ frac {2} {1！} \ left（\ frac {\ pi} {36} \ right）+ \ frac {4} {2！} \ left（\ frac {\ pi} {36} \右）^ 2 + \ frac {16} {3！} \ left（\ frac {\ pi} {36} \ right）^ 3 \ approx0.83892575。
\ tan（40 ^ o）Excelで与えられるように0.83909963です。
この無限級数の4つの項だけでも、誤差はわずか0.0272 \％であることがわかります。
精度が高い場合必要に応じて、無限級数についてさらに詳しく説明することができます。