ベストアンサー
シンプル…。 🙂
これを直接の結果として使用することがよくあります。
回答
残念ながら、テイラー級数もロピタルの定理に基づく回答も、循環論法を導入するため、厳密な証明：これらの方法はどちらも、関数f（x）= \ sin（x）の導関数を計算して、問題の極限が何に等しいかを知る必要があります。つまり、Aを検索するときにBを紹介しますが、Bを見つけるには、Aが何であるかを知る必要があります。
「」で許容できるほど厳密な証明を作成することは、それほど難しくありません。数学的分析」コース。 1つのバージョンを次に示します。下の図の\ triangle AOCは、扇形OApC内に含まれる二等辺三角形であり、直角三角形OAB内に含まれています。線分ABは光線OAに垂直です：
ユークリッドの「要素」ブック3提案16から上記のオブジェクトの正方形の領域は、次のようにサイズで並べ替えられます。
A \_ {\ triangle OAC} \_ {OApC} \_ {\ triangle OAB}
その提案ではユークリッドは（基本的に）新しい直線がABとpの間に配置されるように、ABと点Aの円qの円周との間に別の直線を絞ることが不可能であることを証明します。逆に、それは任意の直線を意味します。直角をカットするOABは必然的に円の内側になります-線分ACが上で行ったように、次に、三角形と円形セクターの面積の式と、角度AOCがラジアンで測定されるという事実を使用して、 ：
\ frac {OA \ times CH} {2} frac {\ alpha\_n \ times r ^ 2} {2} frac {OA \ times AB} {2}
r ^ 2 \ sin（\ alpha\_n） alpha\_n \ times r ^ 2 ^ 2 \ times \ tan（\ alpha\_n）
\ sin（\ alpha\_n） alpha\_n tan（\ alpha\_n）
左端の不等式を観察します：
\ sin（\ alpha\_n） alpha\_n
使用します後で。次に、0 alpha\_n frac {\ pi} {2}と見なし、最後の二重不等式を\ sin（\ alpha\_n）で除算する権利を与えます。
1 frac {\ alpha\_n} {\ sin（\ alpha\_n）} frac {1} {\ cos（\ alpha\_n）}
\ cos（x）は偶数関数であり、f（x）= xと\ sin（x）はどちらも奇数であり、上記の不等式の逆数は次のとおりです。
1> \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n}> \ cos（\ alpha\_n）
上記に-1を掛けて、不等号を反転します。
-1 \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} \ cos（\ alpha\_n）
上記に1を追加します：
0 – \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} – \ cos（\ alpha\_n）
しかし：
1- \ cos（\ alpha\_n）= 2 \ sin ^ 2（\ frac {\ alpha\_n} {2}） \ sin（\ frac {\ alpha\_n } {2}） \ frac {\ alpha\_n} {2} = \ alpha\_n
以前に証明した「左端」の不等式のため（上記を参照）。今：
1- \ cos（\ alpha\_n） alpha\_n
つまり：
0 – \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} alpha\_n
前に0 alpha\_n frac {\ pi} {2}と仮定したので、上記の不等式の絶対値を使用できます。
| \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n |
これは、制限の\ epsilon、\ delta定義に準拠しています。\ epsilon> 0の場合は、\ delta = min（\ epsilon、\ frac {\ pi} {2}）を選択します。 ：
| \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} -1 | \ alpha\_n | = | \ alpha\_n-0 | delta
ここで、「連続」バリアントではなく離散シーケンスを研究している場合、\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n}を設定し、次のようにします。
\ alpha\_n = \ frac {\ pi} {2n} delta \ leq \ epsilon
ここから：
n> \ frac {\ pi} {2 \イプシロン}
そして最後に：
\ forall \ epsilon> 0 \ quad \ exists N = \ frac {\ pi} {2 \ epsilon} \ quad：\ quad \ forall n > N \ quad | \ frac {\ sin（\ alpha\_n）} {\ alpha\_n} -1 | epsilon
いずれの場合も、次のことを意味します。
\ lim\_ {x \ to 0} \ frac {\ sin（x）} {x} = 1
この一連の推論の追加ボーナスとして、次のことを自動的に証明したことに注意してください。
\ lim\_ {x \ to 0} \ cos（x）= 1
以前に推定された不等式\ sin（\ alpha\_n） alpha\_nは、| \ alpha\_n-0 |とすぐに続きます。 deltaあります| \ sin（\ alpha\_n）-0 | epsilonは、次のことを意味します。
\ lim\_ {x \ to 0} \ sin（x）= 0
その直後から、次の制限を計算できます。
\ lim\_ {x \ to 0} \ tan（x）= 0
（読者への演習として残します）など。
勝利、この質問の実用的な表現に関係する次の制限を計算しましょう：
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos（ \ frac {\ phi} {2 ^ k}）
ここで、\ phiは任意の非ゼロ（実）数です。製品の最初のいくつかの用語を書き出します：
\ cos（\ frac {\ phi} {2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 2}）\ cos（\ frac { \ phi} {2 ^ 3}）\ dots \ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ n}）
ハーフアングルアイデンティティから始めます：
\ sin （\ phi）= 2 \ cos（\ frac {\ phi} {2}）\ sin（\ frac {\ phi} {2}）
\ sin（\ frac {\ phi} {2}）：
\ sin（\ phi）= 2 ^ 2 \ cos（\ frac {\ phi} {2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 2 }）\ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ 2}）
そして再び-to \ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ 2}）：
\ sin（\ phi）= 2 ^ 3 \ cos（\ frac {\ phi} {2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 3}）\ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ 3}）
など。 n個のそのような置換の後、次のようになることがわかります。
\ sin（\ phi）= 2 ^ n \ cos（\ frac {\ phi} {2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 2}）\ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ 3}）\ dots \ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ n}）\ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ n}）
ここから、正弦の長い積は次のように表すことができます。
\ frac {\ sin（\ phi）} {2 ^ n \ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ n}）} = \ frac {\ sin（\ phi）} {\ phi} \ frac {\ frac {\ phi} {2 ^ n}} {\ sin（\ frac {\ phi} {2 ^ n}）}
しかし、上記の制限が何であるかはすでにわかっているため、次のようになります。
\ lim\_ {n \ to + \ infty} \ prod\_ {k = 1} ^ n \ cos（\ frac {\ phi} {2 ^ k}）= \ frac {\ sin（\ phi）} {\ phi}