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三角関数の表を使用したくない場合は、\ tan27の概算値を取得できます。 ^ o \ tanxのテイラー展開を使用します。
実数または複素数aで無限に微分可能な実数または複素数の値関数f（x）のテイラー級数は次の式で与えられます。
f（x）= \ sum \ limits\_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {f ^ {（n）}（a）} {n！}（xa）^ n、ここでf ^ {（n）}（a）は、x = aでのn ^ {th}導関数の値です。
角度はラジアンで表す必要があることに注意してください。
f（x）= \ tanxおよびa = 30 ^ o = \ frac {\ pi} {6}ラジアンとします。
\ Rightarrow \ qquad f “（a）= \ sec ^ 2 a = \ sec ^ 2 \ left（\ frac {\ pi} {6} \ right）= \ frac {4} {3}、および、
\ qquad f “”（a）= \ sec ^ 2 a \ tan a = \ sec ^ 2 \ left（\ frac {\ pi} {6} \ right）\ tan \ left（\ frac {\ pi} {6} \ right）= \ frac {4} { 3} \ times \ frac {1} {\ sqrt {3}} = \ frac {4} {3 \ sqrt {3}}。
\ tan 27 ^ o = \の値が必要ですtan \ left（\ frac {\ pi} {6}-\ frac {\ pi} {60} \ right）= \ tan \ left（\ frac {3 \ pi} {20} \ right）。
\ Rightarrow \ qquad x = \ fra c {3 \ pi} {20} \ qquad \ Rightarrow \ qquad xa =-\ frac {\ pi} {60}。
次に、テイラーシリーズの最初の2つの項だけを使用すると、次のようになります。 、
\ tan \ left（\ frac {3 \ pi} {20} \ right）= f（a）+（xa）f “（a）= \ tan \ left（\ frac {\ pi} {6} \ right）-\ frac {\ pi} {60} \ times \ frac {4} {3}
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ upperx \ frac {1 } {\ sqrt 3}-\ frac {\ pi} {45} = 0.507537。
この値の誤差は-0.3902 \％です。
最初の3つの項のみを使用します。テイラーシリーズの場合、
\ tan \ left（\ frac {3 \ pi} {20} \ right）= f（a）+（xa）f “（a）+（xa ）^ 2 \ frac {f “”（a）} {2！}
\ qquad = \ tan \ left（\ frac {\ pi} {6} \ right）-\ frac {\ pi } {60} \ times \ frac {4} {3} + \ left（\ frac {\ pi} {60} \ right）^ 2 \ times \ frac {4} {3 \ sqrt 3} \ times \ frac { 1} {2}。
\ Rightarrow \ qquad \ tan 27 ^ o \ approx \ frac {1} {\ sqrt 3}-\ frac {\ pi} {45} + \ frac {\ pi ^ 2} {5400 \ sqrt 3} = 0.508592。
この値の誤差は-0.1831 \％です。
より高い精度が必要な場合は、より多くの用語を使用できます。