최상의 답변
먼저, 우리는 모듈러스 (또는 이 경우에는 1818이됩니다. 그런 다음 Euler의 totient 함수 에 1818을 삽입하여 ϕ를 얻습니다. (18) ϕ (18). 특히 모든 정수 nn에 대해
ϕ (n) = n∏p | n (1−1p), ϕ (n) = n∏p | n (1−1p),
여기서 제품은 nn의 모든 고유 소인수를 포함합니다. 따라서이 경우에는
ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.ϕ (18) = (18) (1/2) (2/3) = 6.
좋습니다. 다음 단계는 Euler의 정리 입니다. 이는 다른 정수 aa에 대해 상대적으로 소수 에서 nn까지, 우리는 ϕ (n) ϕ (n)의 거듭 제곱에 대한 aa가 nn으로 나눌 때 나머지 11을 남깁니다. 즉,
aϕ (n) ≡1 (modn) .aϕ (n) ≡1 (modn)입니다.
1717은 실제로 1818에 비해 상대적으로 소수이므로 176176 개의 잎을 알고 있습니다. 1의 알림입니다. 이것은 나머지를 변경하지 않고 176176을 1720017200에서 계속 나눌 수 있음을 의미합니다. 이것을 말하는 또 다른 방법은 “6의 배수는 나머지 1을 남기는 17의 모든 거듭 제곱입니다. 따라서 결국 200은 6의 배수보다 2가 더 많으므로
17200≡172 (mod18) .17200≡172 (mod18).
이렇게하면 문제가 훨씬 더 간단 해집니다. 거의 다되었습니다! 여기서 문제를 해결하는 지름길은 1717이 1818로 나눌 때 −1−1의 나머지를 남기므로 (즉, 17≡−1 (mod18) 17≡−1 (mod18)), 따라서 172172는 나머지 (− 1) 2 = 1. (− 1) 2 = 1.
따라서 우리의 대답은 1 . 다음에 나머지와 관련된 문제가 발생하면 큰 힘의이 멋진 일반화 된 솔루션을 사용하고 동시에 똑똑하게 들릴 수 있습니다. :). 이전에 modmod 표기법을 본 적이 없다면 모듈 식 산술 을 참조하십시오.
PS이 정리의 특별한 경우를 들어 보셨을 것입니다. Fermat s little theorem 이라고하는데, 이는 “소수”인 모듈러스를 가질 때 작동합니다 (여기서는 해당되지 않음). 정리는 모든 소수 pp에 대해 다음과 같이 말합니다. 그리고 pp의 배수가 아닌 정수 aa,
ap-1≡1 (modp) .ap-1≡1 (modp)
이것은 흥미로운 속임수이지만 모든 프라임 pp에 대해 ϕ (p) = p−1ϕ (p) = p−1이므로 기본적으로 위의 내용과 동일합니다. 음수 나머지 . 항상 배당금을 1 또는 -1로 줄이십시오.
Rem [17 ^ 200 / 18] = Rem [(-1) ^ 200 / 18] = Rem [1/18] = 1
답변
문제 해결에 필요한 중요한 배경 :
우리는 r이 pq를 나눌 때 얻은 나머지는 r이 p와 q를 따로 나눌 때 얻은 나머지의 곱이라는 것을 알고 있습니다. 이것을 나머지에 대한 기본형이라고합니다. Euclid의 나눗셈 정리로 증명할 수 있습니다.
해답
17을 18 개 잎으로 나눈 나머지 -1 (17보다 -1로 작업하는 것이 편리합니다)
18로 나눈 나머지 기본형을 17 × 17 × 17 … × 17 (2000 배)에 적용하면 개별 나머지는 곱해집니다. 즉 -1 × -1 .. × -1 (2000 배), 나머지는 1입니다. \ blacksquare
17을 홀수로 올렸다면 나머지는 -1 또는 17이됩니다. .