최상 답변
1에서 10까지 숫자 2가 먼저 발생하는 횟수를 세어 보겠습니다. 1, 즉 숫자 2에 대한 것입니다.
다음으로, 다음 10 개의 숫자를 취하고 그 안에있는 숫자 2의 발생을 세면 2, 즉 숫자 12와 20을 얻습니다.
같은 방식으로 21에서 30까지의 숫자에서 10 번 발생합니다. 22에서 두 번 발생합니다.
120을 포함하여 다음 숫자에 대해 같은 방식으로 계속됩니다. 10 개의 숫자에 한 번 더 존재한다는 것을 알아 내십시오. 총 10 개입니다.
121과 130 사이에는 122 번에 두 번 발생하므로 다시 10 번 발생합니다.
131에서 190까지 숫자 2는 10 개의 숫자마다 한 번씩 발생하며 총 6 개입니다.
그리고 마지막 10 개의 숫자 (191–200)에서는 두 번 발생합니다.
모든 발생을 더합니다. 우리는 숫자 2가 41 번, 즉 숫자 2, 12, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92에서 발생합니다. , 102, 112, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 132, 142, 152, 162, 172, 182, 192 및 200.
답변
두 가지 규칙을 보여 드리겠습니다. 많을 수 있습니다.
첫 번째는 쉬우 며 두 번째는 더 수학적이고 과학적인 것입니다.
프로세스 1 :
n ^ 5를하면 결과의 마지막 숫자는 항상 n의 마지막 숫자와 같습니다.
이제 (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
마지막 숫자는 덧셈의 마지막 숫자 (1 + 2 + 3 +… .. + 99)가됩니다. .
이제
더하기의 마지막 숫자 (1 + 2 + 3 +… .. + 99)
= \ frac의 마지막 숫자 {99 \ times (99 + 1)} {2}
= \ frac {99 \ times 100} {2}
= 0
그러므로 덧셈의 마지막 숫자
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)는 0.
프로세스 2 :
알고 있습니다.
(1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + n ^ 5)
= \ frac {[n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n–1)}} {12}
그러므로 (1 ^ 5 + 2 ^ 5 + 3 ^ 5 + …… .. + 99 ^ 5)
정답은
161708332500
따라서 마지막 숫자는 0 입니다.
PS : 우리는 1 ^ a + 2 ^ a + 3 ^ a + …… .. + n ^ a가 수학적으로 쓰여진다는 것을 알고 있습니다. \ Sigma n ^ a로. 거듭 제곱 합계의 일반 공식은 Faulhaber의 공식 (베르누이의 공식이라고도 함)으로 알려져 있습니다.
\ sum\_ { k = 1} ^ nk ^ {p} = \ frac {n ^ {p + 1}} {p + 1} + \ frac {1} {2} n ^ p + \ sum\_ {k = 2} ^ p \ frac {B\_ {k}} {k!} p ^ \ underline {k-1} n ^ {p-k + 1}
여기서 \ textbf {p} ^ \ underline {k-1} = \ dfrac {p!} {(p-k + 1)!}은 하강 계승이라고하고 B\_ {k}는 베르누이 수입니다.
이 공식을 사용하여 특정 검정력 공식을 추론 할 수 있습니다. 합계는 아래와 같습니다.
- \ Sigma n ^ 0 = n
- \ Sigma n ^ 1 = \ frac {n (n + 1)} {2 } = \ frac {1} {2} (n ^ 2 + n)
- \ Sigma n ^ 2 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6} = \ frac {1} {6} (2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n)
- \ 시그마 n ^ 3 = [\ frac {n (n + 1)} {2}] ^ 2 = \ frac {1} {4} (n ^ 4 + 2n ^ 3 + n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 4 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 2 + 3n-1)} {30} = \ frac {1} {30} (6n ^ 5 + 15n ^ 4 + 10n ^ 3-n)
- \ Sigma n ^ 5 = \ frac { [n (n + 1)] ^ 2 {(2n ^ 2 + 2n–1)}} {12} = \ frac {1} {12} (2n ^ 6 + 6n ^ 5 + 5n ^ 4-n ^ 2 )
- \ 시그마 n ^ 6 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (3n ^ 4 + 6n ^ 3-3n + 1)} {42} = \ frac {1 } {42} (6n ^ 7 + 21n ^ 6 + 21n ^ 5-7n ^ 3 + n)
- \ 시그마 n ^ 7 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (3n ^ 4 + 6n ^ 3-n ^ 2-4n + 2)} {24} = \ frac {1} {24} (3n ^ 8 + 12n ^ 7 + 14n ^ 6-7n ^ 4 + 2n ^ 2)
- \ Sigma n ^ 8 = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (5n ^ 6 + 15n ^ 5 + 5n ^ 4-15n ^ 3-n ^ 2 + 9n-3)} {90} = \ frac {1} {90} (10n ^ 9 + 45n ^ 8 + 60n ^ 7-42n ^ 5 + 20n ^ 3-3n)
- \ 시그마 n ^ 9 = \ frac {n ^ 2 (n + 1) ^ 2 (n ^ 2 + n -1) (2n ^ 4 + 4n ^ 3-n ^ 2-3n + 3)} {20} = \ frac {1} {20} (2n ^ {10} + 10n ^ 9 + 15n ^ 8-14n ^ 6 + 10n ^ 4-3n ^ 2)
- \ 시그마 n ^ {10} = \ frac {n (n + 1) (2n + 1) (n ^ 2 + n-1) (3n ^ 6 + 9n ^ 5 + 2n ^ 4-11n ^ 3 + 3n ^ 2 + 10n-5)} {66} = \ frac {1} {66} (6n ^ {11} + 33n ^ {10} + 55n ^ 9-66n ^ 7 + 66n ^ 5-33n ^ 3 + 5n)
제 답변을 읽어 주셔서 감사합니다. 도움이 되었기를 바랍니다.