최상의 답변
T\_n (x), 제 1 종 체비 쇼프 다항식은 만족합니다.
\ cos (n \ theta) = T\_n (\ cos \ theta)
우리는 T\_ {10} (x)를 쫓고 있습니다. 우리는 처음 몇 개를 알고 있습니다.
T\_0 (x) = 1 \ quad 왜냐하면 \ quad \ cos (0 \ theta) = 1
T\_1 (x) = x \ quad 왜냐하면 \ quad \ cos (1 \ theta) = \ cos \ theta
T\_2 (x) = 2x ^ 2-1 \ quad 왜냐하면 \ quad \ cos (2 \ theta) = 2 \ cos ^ 2 \ theta -1
T\_3 (x) = 4x ^ 3-3x \ quad 왜냐하면 \ quad \ cos (3 \ theta) = 4 \ cos ^ 3 \ theta-3 \ cos \ theta
2의 거듭 제곱을 쉽게 계산할 수 있습니다.
T\_4 (x) = T\_2 (T\_2 (x)) = 2 (2x ^ 2 -1) ^ 2-1 = 8x ^ 4-8x ^ 2 + 1
T\_8 (x) = T\_2 (T\_4 (x)) = 2 (8x ^ 4-8x ^ 2 + 1) ^ 2 + 1 = 128 x ^ 8-256 x ^ 6 + 160 x ^ 4-32 x ^ 2 + 3
일반적으로 T\_ {mn} (x) = T\_m (T\_n (x))는 \ cos (n \ theta) = T\_n ( \ cos \ theta).
T\_n (x)는 반복을 충족합니다.
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x)-T\_ {n-1 } (x)
T\_0 (x)와 T\_1 (x)는 정수 계수를 갖기 때문에 반복은 모든 T\_n (x)에 정수 계수가 있음을 알려줍니다.
반복을 유도 해 보겠습니다. . 코사인 만 사용하는 대체 합 각도 공식 인 삼각 동일성을 증명하는 것으로 시작합니다.
\ cos (A + B) + \ cos (A − B) = \ cos A \ cos B-\ sin A \ sin B + \ cos A \ cos B + \ sin A \ sin B
\ cos (A + B) = 2 \ cos A \ cos B-\ cos (AB)
이제
\ cos ((n + 1) \ theta) = \ cos (n \ theta + \ theta) = 2 \ cos n \ theta \ cos \ theta-\ cos (( n-1) \ theta)
또는 x = \ cos \ theta,
T\_ {n + 1} (x) = 2 x T\_n (x)-T\_ {n -1} (x) \ quad \ checkmark
이제 T\_ {10} (x)를 매우 쉽게 계산할 수 있습니다.
T\_5 (x) = 2xT\_4 (x)-T\_3 ( x) = 2x (8x ^ 4-8x ^ 2 + 1)-(4x ^ 3-3x) = 16 x ^ 5-20 x ^ 3 + 5 x
T\_ {10} (x) = T\_2 (T\_5 (x)) = 2 (16 x ^ 5-20 x ^ 3 + 5 x) ^ 2-1
T\_ {10} (x) = 512 x ^ {10}- 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6-400 x ^ 4 + 50 x ^ 2-1
드디어 답을 얻었습니다.
\ cos (10 \ theta) = 512 \ cos ^ {10} \ theta-1280 \ cos ^ 8 \ theta + 1120 \ cos ^ 6 \ theta-400 \ cos ^ 4 \ theta + 50 \ cos ^ 2 \ theta-1
답변
X = theta로 입력하면 더 쉽게 입력 할 수 있습니다.
곱하기는 반복입니다. d 더하기.
10x = x + x + x + x + x + x + x + x + x + x
cos (10x)를 찾는 한 가지 방법은 두 각도의 합의 코사인에 대한 동일성 및 사인에 대한 유사한 동일성
cos (A + B) = cos (A) cos (B)-sin (A) sin ( B)
cos (10x)
= cos (9x + x)
= cos (9x) cos (x)-sin (9x) sin ( x)
이제 9x를 8x + x로 바꾸고
문제에 이미있는 cos (x) 및 sin (x)를 잃지 않고 신중하게 ID를 다시 적용합니다.
p>
그런 다음 8x가 보이는 모든 곳에서 7x + x로 바꾸고 ID를 다시 적용하세요.
계속 진행하세요… ..
자신의 방식대로 작업하는 것이 좋습니다.
cos (3x), cos (4x) 등을 찾으세요.
일하는 동안 더 빠른 방법이 있는지 스스로에게 물어보세요.
공식이 있으면
cos (2x)
= cos (x + x)
= cos (x) cos (x) -sin (x) sin (x)
cos (4x)를 cos (2x + 2x)
및 cos (8x)로 생각할 수 있습니다.
) as cos (4x + 4x).
그런 다음 cos (10x) as cos (8x) + cos (2x).
You migh t 또한 cos (2x)에 대한 결과를 단순화하고 결과에 사인없이 코사인으로 만 문제를 유지하기 위해 피타고라스 신원을 사용할 수 있습니다.