최상의 답변
우리는 공식을 사용합니다. cos (A + B) = Cos A cos B-sin A sin B, cos 2x의 공식을 구합니다.
그래서, Cos 2x = Cos (x + x) = Cos x cos x-sin x sin x = cos ^ 2 x-sin ^ 2 x
그러므로 Cos 2x = cos ^ 2 x-sin ^ 2 x … ……. (1)
다시, cos ^ 2 x-sin ^ 2 x = cos ^ 2 x-(1- cos ^ 2 x) = 2 cos ^ 2 x-1
그러므로 Cos 2x = 2 cos ^ 2 x-1 …………… .. (2)
다시, 2 cos ^ 2 x-1 = 2 (1-sin ^ 2 x)-1 = 1-2 sin ^ 2 x
그래서 , Cos 2x = 1-2 sin ^ 2 x
따라서 Cos 2x = cos ^ 2 x-sin ^ 2 x = 2 cos ^ 2 x-1 = 1-2 sin ^ 2 x
답변
이 문제는 다음과 같습니다.
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {2x} {\ sin \ left (2x \ right)} \, \ mathrm {d} x
이 방정식을 = {\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps- node-1} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
{\ displaystyle \ int} x를 해결하겠습니다. \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d} x
지수를 사용하여 다시 쓰기 : = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {2 \ mathrm {i} x} {\ mathrm { e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x \ Rightarrow \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-2} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
이제 해결 : {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x
공통 분모 위에 용어를 입력합니다. = {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}} {\ mathrm {e} ^ {4 \ mathrm {i} x} -1} \, \ mathrm {d} x
\ dfrac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x} \ left [\ mathrm부터 {i} x \ right] = \ mathrm {i}.mathtt {g}
\ mathtt {f} \ : = \ ln \ left (v \ right) \ to \ mathtt {f} “\ : = \ dfrac {1} {v}; \ mathtt {g} “\ : = \ dfrac {1} {v + 1} \ to \ mathtt {g} \ : = \ ln \ left (v + 1 \ right)
= \ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v + 1 \ right)-{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v + 1 \ right)} {v} \, \ mathrm {d} v
{\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v + 1 \ right)} {v} \, \ mathrm {d} v
이제 해결 : {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v + 1 \ right)} {v} \, \ mathrm {d} v
대체 w = -v \ longrightarrow \ mathrm {d} v =-\ mathrm {d} w
=-{\ displaystyle \ int}-\ dfrac {\ ln \ left (1-w \ right)} {w} \, \ mathrm {d} w
다시 이것은 위와 같은 dilogarithm입니다 : = \ operatorname {Li} \_2 \ left (w \ right)
So-{\ displaystyle \ int}-\ dfrac {\ ln \ left (1-w \ right)} {w} \, \ mathrm {d} w =-\ operatorname {Li} \_2 \ left (w \ right)
대체 실행 취소 w = -v : =-\ operatorname {Li} \_2 \ left (-v \ right)
해결 된 적분 연결 : \ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v + 1 \ right)-{ \ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v + 1 \ right)} {v} \, \ mathrm {d} v = \ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v + 1 \ 오른쪽) + \ operatorname {Li } \_2 \ left (-v \ right)
이제 해결 : {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v-1} \, \ mathrm { d} v
대체 w = v-1 \ longrightarrow \ mathrm {d} v = \ mathrm {d} w
= {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (w + 1 \ right)} {w} \, \ mathrm {d} w
다시, 이것은 dilogarithm입니다 : =-\ operatorname {Li} \_2 \ left (-w \ right )
그리고 w = v-1 이후 : =-\ operatorname {Li} \_2 \ left (1-v \ right)
해결 된 적분을 연결합니다.-\ class {steps -node} {\ cssId {steps-node-8} {\ dfrac {1} {2}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {v \ ln \ left (v \ right)} {v ^ 2 + 1 } \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-9} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v + 1} \, \ mathrm {d} v + \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-10} {\ dfrac {1} {4}}} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {\ ln \ left (v \ right)} {v-1} \, \ mathrm {d} v =-\ dfrac {\ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v ^ 2 + 1 \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (-v ^ 2 \ right)} {8} + \ dfrac {\ ln \ left (v \ right) \ ln \ left (v + 1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (-v \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (1-v \권리 )} {4}
v = \ mathrm {e} ^ u 대체 실행 취소, \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u \ right) = u 사용 :
=-\ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2u} \ right)} {8} + \ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4}
해결 된 적분을 다시 연결합니다.-{\ displaystyle \ int} \ dfrac {u \ mathrm {e} ^ {2u}} {\ mathrm {e} ^ {4u} -1} \, \ mathrm {d} u = \ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2u} +1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2u} \ 오른쪽)} {8}-\ dfrac {u \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ u + 1 \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e } ^ u \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ u \ right)} {4}
u = \ 이후 mathrm {i} x : = \ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right)} {4} + \ dfrac {\ 연산자 이름 {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {8}-\ dfrac {\ mathrm {i} x \ ln \ left (\ mathrm {e } ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right)} {4}-\ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ l eft (-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right)} {4} + \ dfrac {\ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } x} \ right)} {4}
해결 적분 연결 : \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-12} {2 \ mathrm {i}}} {\ cdot} {\ displaystyle \ int} \ dfrac {x} {\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x}-\ mathrm {e} ^ {-2 \ mathrm {i} x}} \, \ mathrm {d} x =-\ dfrac {x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right)} {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ 연산자 이름 {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {4} + \ dfrac {x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right)} {2}-\ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) } {2} + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right)} {2}
해결 된 적분 연결 : \ class {steps-node} {\ cssId {steps-node-13} {2}} {\ displaystyle \ int} x \ csc \ left (2x \ right) \, \ mathrm {d } x = -x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {2} + x \ ln \ left (\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right)-\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ { \ mathrm {i} x} \ right) + \ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right)
이제해야 할 일은 역도 함수의 영역을 확장하기 위해 절대 값 함수를 로그 함수의 인수에 적용하는 것입니다.
{\ displaystyle \ int} 2x \ csc \ left (2x \ right ) \, \ mathrm {d} x = -x \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) + x \ ln \ left ( \ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right) + \ dfrac {\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right)} {2}-\ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) + \ mathrm {i} \ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) + C \ Rightarrow \ boxed {\ dfrac {\ mathrm {i} \ left (\ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} \ right) -2 \ operatorname {Li} \_2 \ left (-\ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) +2 \ operatorname {Li} \_2 \ left (1- \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} x} \ right) \ right)} {2} -x \ left ( \ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {2 \ mathrm {i} x} +1 \ right | \ right)-\ ln \ left (\ left | \ mathrm {e} ^ {\ mathrm { i} x} +1 \ 오른쪽 | \ 오른쪽) \ 오른쪽) + C}