최상의 답변
원하는 내용을 알고 있지만 쓰기 규칙을 배우십시오. cos (1/2)로 작성해야합니다.
질문에 답하려면 여기에서 계산기를 사용해야합니다. 이것을 손으로 계산할 수있는 방법은 없습니다. 또 다른 것은 라디안 또는 각도 값입니다. 나는 여기서 둘 다 줄 것이다. 도는 0.99996, 라디안은 0.8775입니다.
답변
누군가가 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = -1/12라고 주장 할 때 상당히 화를냅니다. . 나는 그런 사람들이 아니지만, 이와 같은 주장을 시작한다면 그것이 무엇인지를 마음 속으로 분명히해야한다고 생각 합니다 의미합니다.
일반적으로 요소의 무한 합계를 정의 할 때 a\_n을 다음과 같이 정의합니다.
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N a\_n
한계가 존재하고 유한 한 값을 가질 경우 무한 합계 수렴 , 우리는 그것이 상기 한계와 같다고 말합니다. 따라서 예를 들면 다음과 같습니다.
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {2 ^ n} = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} 1-2 ^ {-N} = 1
그러나 diverge 에는 무한한 합계가 많이 있으며 일반적으로 이러한 합계에 값을 할당하지 않습니다. 예 이 중 :
\ sum\_ {n = 1} ^ \ infty 1 = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} N \ text {존재하지 않습니다.}
또한 확인 :
1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ sum\_ {n = 1} ^ N n = \ lim\_ {N \ rightarrow \ infty} \ frac {N (N + 1)} {2}
수렴하지 않음 — 따라서 시리즈 1 + 2 + 3 + 4 + \ ldots는 서로 다르기 때문에 일반적인 제한 정의에서는 값을 할당하지 않습니다.
하지만 방법이 있습니다. 이 정의를 확장 할 수 있습니다. 즉, 수렴 시리즈에 대해 일반적인 방식으로 얻는 값과 여전히 일치하는 발산 시리즈에 유한 값을 할당하는 방법을 찾을 수 있습니다.
문제는 이러한 방법 때문에 그들의 본질은 물리적으로 어떤 것과도 일치하지 않습니다 *. 그래서 우리가 바랄 수있는 최선의 방법은 그러한 방법이 좋은 형식적 속성을 가지고 있다는 것입니다. 특히 다음과 같은 공리를 만족하도록 요청합니다.
1.) (정규성) \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n이 수렴하면 합산 방법은 한계를 취하는 일반적인 방법.
2.) (선형성) 만약 \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = A와 \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty b\_n = B가 합산 가능합니다. 이면 \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty (a\_n + b\_n) = A + B입니다. r이 실수이면 \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty r a\_n = rA.
3.) (안정성) a\_0 + \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_n = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty a\_ {n-1}.
이러한 공리는 매우 유용합니다. 예를 들어 다음과 같은 세 가지 공리를 충족하는 합산 방법보다 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = -1을 평가해야합니다.
s = 1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots = 1 + 2 (1 + 2 + 4 + 8 + \ ldots) = 1 + 2s
선형성과 안정성이이 증명에서 중요한 역할을합니다. 안정성은 우리가 앞의 1을 “뽑아 낼”수있게하고 선형성은 우리가 2를 빼낼 수있게합니다.
이러한 합산 방법은 1-1 + 1-1 + \ ldots = 1 / 2. 증명은 비슷합니다.
s = 1-1 + 1-1 + \ ldots = 1-(1-1 + 1-1 + \ ldots) = 1-s
그러나이 세 가지 공리를 충족하는 어떤 합산 방법으로도 평가할 수없는 발산 계열이있을 것입니다. 예를 들어 1 + 1 + 1 + \ ldots 계열에 유한 값 s를 할당 할 수 있다고 가정합니다. 그러면 다음과 같이됩니다.
s = 1 + 1 + 1 + \ ldots = 1 + (1 + 1 + 1 + \ ldots) = 1 + s \ Rightarrow 0 = 1
죄송합니다. 안타깝게도이 세 가지 공리를 충족하는 합산 방법이 1 + 2 + 3 + \ ldots를 평가할 수 없기 때문에 더욱 악화됩니다.
(1 + 2 + 3 + \ ldots )-(1 + 2 + 3 + \ ldots) = (1 + 2 + 3 + \ ldots)-(0 + 1 + 2 + 3 + \ ldots) (안정성) = (1 + 1 + 1 + 1 + \ ldots) (선형성 기준)
따라서 1 + 2 + 3 + \ ldots를 평가하는 합산 방법을 정의하려면 선형성 또는 안정성을 버려야합니다. 다른 접근 방식이 있습니다. 일부는 하나를 희생하고 다른 하나는 다른 하나를 희생합니다.
불행하게도 이것은 발산 시리즈의 합산이 어떻게 진행되는지를 나타냅니다. 여러 가지 합산 방법이 있지만 그렇지 않습니다. 항상 동의합니다. 그들은 종종 중요한 시리즈에 동의하지만 1 + 2 + 3 + \ ldots = -1/12와 같은 것을 주장한다면 어떤 합산 방법을 사용하고 있는지 절대적으로 명확히하는 것이 좋습니다.
수 이론가로서 제가 가장 좋아하는 접근 방식은 제타 함수 정규화입니다. 이에 대한 기본 예는 다음과 같습니다. Riemann zeta 함수 \ zeta (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ s}를 고려하십시오.
이 공식은 s의 실수 부분이 1보다 큰 경우에만 수렴합니다.그러나 Riemann zeta 함수를 전체 복잡한 평면에 대한 함수로 확장하는 표준 방법이 있습니다 (글쎄요, 몇 개의 극이 있지만 이것이 중요하지만 기술적 인 문제입니다) .– 이것을 분석이라고합니다. 연속, 제타 함수에 대한 함수 방정식을 찾아서 명시 적으로 얻을 수 있습니다.
분석적 연속을 사용하면 \ zeta (-1) = -1/12입니다. 그러나 zeta 함수의 원래 표현식에 “연결”하면 다음과 같은 결과가 나타납니다.
-1/12 = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {1} {n ^ {-1}} = \ sum\_ {n = 1} ^ \ infty n = 1 + 2 + 3 + \ ldots
이것은 제타 함수 정규화가 작동하는 방식입니다. 제타 함수를 계열에 연결합니다. , 그런 다음 분석적 연속을 사용하여 유한 한 값을 시리즈에 연결합니다.
이것은 여러면에서 흥미롭지 만 실체가있는 것에 해당한다고 생각해서는 안되는 형식적인 게임입니다.
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* 예, 양자 장 이론의 계산에 발산 계열과 적분이 사용된다는 것을 알고 있습니다. 그러나 나는 그러한 방법이 실제로 일어나는 일에 대한 물리적 해석보다 계산 도구 라고 주장합니다. 게다가이 시점에서 우리는 양자 장 이론의 수학적으로 엄격한 모델을 가지고 있지 않기 때문에, 아직까지 해석되어서는 안되는 이상한 키메라가 완전히 제거 될 수도 있습니다.