우수 답변
cos (3x) = 4cos ^ 3 (x) − 3cos (x)
다음은 몇 가지 중요한 결과입니다.
- 피타고라스 신원 sin 2X + cos 2X = 1 1 + tan 2X = sec 2X 1 + cot 2X = csc 2X
- 음의 각도 식별 sin (-X) = – sin X, 홀수 함수 csc (-X) = – csc X, 홀수 함수 cos (-X) = cos X, 짝수 function sec (-X) = sec X, even function tan (-X) = – tan X, odd function cot (-X) = – cot X, odd function
- Cofunctions Identities sin (π / 2 – X) = cos X cos (π / 2 – X) = sin X tan (π / 2 – X) = cot X cot (π / 2 – X) = tan X sec (π / 2 – X) = csc X csc (π / 2 – X) = sec X
- 더하기 공식 cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y cos (X – Y) = cos X cos Y + sin X sin Y sin (X + Y) = sin X cos Y + cos X sin Y sin (X – Y) = sin X cos – cos X sin Y tan (X + Y) = [tan X + tan Y] / [1 – tan X tan Y] tan (X – Y) = [tan X – tan Y] / [1 + tan X tan Y] 침대 (X + Y) = [침대 X 침대 Y – 1] / [침대 X + 유아용 침대 Y] 유아용 침대 (X – Y) = [유아용 침대 X 유아용 침대 Y + 1] / [유아용 침대 Y – 유아용 침대 X]
- 제품 공식 합계
cos X + cos Y = 2cos [(X + Y) / 2] cos [(X – Y) / 2]
sin X + sin Y = 2sin [(X + Y) / 2] cos [ (X – Y) / 2]
- 제품 공식과의 차이 cos X – cos Y = – 2sin [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2] sin X – sin Y = 2cos [(X + Y) / 2] sin [(X – Y) / 2]
- 합 / 차 공식에 대한 곱 cos X cos Y = (1/2) [cos (X – Y) + cos (X + Y)] sin X cos Y = (1/2) [sin (X + Y) + sin (X – Y)] cos X sin Y = (1/2) [sin (X + Y) – sin [(X – Y)] sin X sin Y = (1/2) [cos (X – Y) – cos (X + Y)]
- 제곱 공식의 차이 sin 2X – sin 2Y = sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – cos 2Y = – sin (X + Y) sin (X – Y) cos 2X – sin 2Y = cos (X + Y) cos (X – Y)
- 이중 각도 공식 sin (2X) = 2 sin X cos X cos (2X) = 1 – 2sin 2X = 2cos 2X – 1 tan (2X) = 2tan X / [1 – tan 2X]
- 다중 각도 공식
- sin (3X) = 3sin X – 4sin 3X cos (3X) = 4cos 3X – 3cos X sin (4X) = 4sin X cos X – 8sin 3X cos X cos (4X) = 8cos 4X – 8cos 2X + 1
- 반각 공식 sin (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / 2] cos (X / 2) = ± √ [(1 + cos X) / 2] tan (X / 2) = ± √ [(1 – cos X) / (1 + cos X)] = sin X / (1 + cos X) = (1 – cos X) / sin X
- 전력 감소 공식 sin 2X = 1/2 – (1/2) cos (2X)) cos 2X = 1/2 + (1 / 2) cos (2X)) sin 3X = (3/4) sin X – (1/4) sin (3X) cos 3X = (3/4) cos X + (1/4) cos (3X) sin 4X = (3/8) – (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) cos 4X = (3/8) + (1/2) cos (2X) + (1/8) cos (4X) sin 5X = (5/8) sin X – (5/16) sin (3X) + (1/16) sin (5X) cos 5X = (5/8) cos X + (5/16) cos (3X) + (1/16) cos (5X) sin 6X = 5/16 – (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) – (1/32) cos (6X) cos 6X = 5/16 + (15/32) cos (2X) + (6/32) cos (4X) + (1/32) cos (6X) ·
- 삼각 함수 주기성 sin (X + 2π) = sin X, 기간 2π cos (X + 2π) = cos X, 기간 2π sec (X + 2π) = sec X, 기간 2π csc (X + 2π) = csc X, 기간 2π tan (X + π) = tan X, 기간 π cot (X + π) = cot X, 기간 π
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답변
돌 하나에 새 두 마리는 어떻습니까? \ sin {3x}의 공식도 찾을 수 있습니다!
De Moivre의 정리를 떠올려보세요 :
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ n = \ cos {(n \ theta)} + i \ sin {(n \ theta)}
그래서
(\ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3 = \ cos {(3 \ theta)} + i \ sin {(3 \ theta)}
이항 정리를 사용하여 LHS 확장
( \ cos {\ theta} + i \ sin {\ theta}) ^ 3
= (\ cos {\ theta}) ^ 3 + 3 (\ cos {\ theta}) ^ 2 (i \ sin {\ theta}) + 3 (\ cos {\ theta}) (i \ sin {\ theta}) ^ 2 + (i \ sin {\ theta}) ^ 3
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i \ cos ^ 2 {\ theta} \ sin {\ theta}-3 \ cos {\ theta} \ sin ^ 2 {\ theta}-i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (1-\ sin ^ 2 {\ theta}) \ sin {\ theta}-3 \ cos {\ theta} (1-\ cos ^ 2 {\ theta})-i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta} + 3i (\ sin {\ theta}-\ sin ^ 3 {\ theta})-3 (\ cos {\ theta}-\ cos ^ 3 {\ theta})-i \ sin ^ 3 {\ theta}
= \ cos ^ 3 {\ theta}-3 \ cos {\ theta } + 3 \ cos ^ 3 {\ theta} + i (3 \ sin {\ theta}-3 \ sin ^ 3 {\ theta}-\ sin ^ 3 {\ theta})
= 4 \ cos ^ 3 {\ theta}-3 \ cos {\ theta} + i (-4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta})
실제 비교 LHS와 RHS의 허수 부분은 다음과 같습니다.
\ boxed {\ boxed {\ cos {(3 \ theta)} = 4 \ cos ^ 3 {\ theta}-3 \ cos {\ theta}}}
\ boxed {\ boxed {\ sin {(3 \ theta)} = -4 \ sin ^ 3 {\ theta} + 3 \ sin {\ theta}}}