우수 답변
주어진 것은
\ displaystyle {(x + \ dfrac {1} {x}) ^ 2 = 3}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + (2 \ times x \ times \ dfrac {1} {x}) = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 + \ dfrac {1} {x ^ 2} + 2 = 3}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 2 -1 + \ dfrac {1} {x ^ 2} = 0}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {x ^ 4-x ^ 2 + 1 = 0}}
이제 x의 값 ^ 2는-\ omega 및-\ omega ^ 2
어디
\ displaystyle {\ omega = \ dfrac {-1 + \ sqrt {-3}} {2}입니다. }
그리고
\ displaystyle {1 + \ omega + \ omega ^ 2 = 0}
\ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
x ^ 2는-\ omega가됩니다
이제 주어진 표현식은 \ displaystyle {s = x ^ {206} + x ^ {200} + x ^ {90}입니다. + x ^ {84} + x ^ {18} + x ^ {12} + x ^ {6} + 1}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1 + (x ^ 2) ^ {103} + (x ^ 2) ^ {100} + (x ^ 2) ^ {45} + (x ^ 2) ^ {42} + (x ^ 2) ^ {9} + (x ^ 2) ^ {6} + (x ^ 2) ^ {3}}}
\ displaystyle { \ Rightarrow {s = 1 + (-\ omega) ^ {103} + (-\ omega) ^ {100} + (-\ omega) ^ {45} + (-\ omega) ^ {42} + (-\ 오메가) ^ {9} + (-\ omega) ^ {6} + (-\ omega) ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-{\ omega} ^ {102 +1} + {\ omega} ^ {99 + 1}-{\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42}-{\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ { 6}-{\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-({\ omega} ^ {102}. {\ omega}) + ({\ omega } ^ {99}. {\ omega})-{\ omega} ^ {45} + {\ omega} ^ {42}-{\ omega} ^ {9} + {\ omega} ^ {6}-{\ omega} ^ {3}}}
\ displaystyle {\ Rightarrow {s = 1-((\ omega ^ 3) ^ {34}. {\ omega}) + ((\ omega ^ 3) ^ {33}. {\ omega})-(\ omega ^ 3) ^ {15} + (\ omega ^ 3) ^ {14}-(\ omega ^ 3) ^ {3} + (\ omega ^ 3) ^ {2}-{\ omega} ^ {3}}}
이제 \ displaystyle {\ omega ^ 3 = 1}
그래서
\ displaystyle {s = 1-(1 \ times {\ omega}) + (1 \ times {\ omega})-1 + 1-1 + 1-1}
\ displaystyle {\ Rightarrow { s = 1-{\ omega} + {\ omega}-1 + 1-1 + 1-1 = 0}}
그러므로 답은 0입니다
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답변
이 문제는 처음 보는 것보다 훨씬 간단하며 얼마나 유용한 지에 대한 교훈입니다. 대칭을 찾아서 활용하는 것이 될 수 있습니다. 미적분을 조금 알고 있다면 그 접근 방식이 매우 잘 작동하지만 문제를 풀기 위해 미적분을 필요로하지 않습니다. 비계산 솔루션의 핵심은 동일한 값이 g (x) 및 h (x)를 최소화하면 g (x) + h (x)도 최소화하는지 관찰하는 것입니다. 이것이 사실 인 이유를 알고 있습니까?
이 아이디어를이 문제에 어떻게 적용 할 수 있습니까?
G (x) = (x + 3) ^ 4 + (x + 4 ) ^ 4. 이 함수는 x = 3.5 (x에 추가되는 +3과 +4 값 사이의 중간 지점)에 대해 대칭입니다. g (x) = ((x + 3.5) -0.5) ^ 4 +로 쓸 수 있기 때문입니다. ((x + 3.5) +0.5) ^ 4. y = x + 3.5로 설정하면이 대칭은 g (y)가 짝수 다항식이어야하므로 y의 짝수 거듭 제곱만을 포함하는 항을 포함합니다. 짝수 다항식이므로 이항 정리는 모든 계수가 양수 여야 함을 알려줍니다. (사실 g (y) = 2y ^ 4 + 3y ^ 2 + \ frac 18이지만 인수를 끝내기 위해이 세 항을 명시 적으로 찾을 필요조차 없습니다.) y = 0이기 때문에 각 g (y)의 합계는 각각 양의 계수를 갖는 y의 짝수 거듭 제곱이기 때문에 초기 관찰은 y = 0이 g도 최소화해야 함을 의미합니다. 그래서 우리는 x = -3.5가 g (x)의 고유 한 최소화라는 것을 발견했습니다.
다음으로 h (x) = x ^ 2 + (x + 7) ^ 2를 고려하세요. 이 함수는 2 차 함수이므로 g보다 약간 더 간단하며 거의 동일한 인수는 x = 3.5가 h (x)의 고유 한 최소화 기임을 의미합니다. 대칭을 이용하여 h (x) = ((x + 3.5) -3.5) ^ 2 + ((x + 3.5) +3.5) ^ 2로 씁니다. 그런 다음 h (y)는 짝수 다항식 (따라서 y의 짝수 거듭 제곱 만 가짐)이고 이항 정리를 사용하여 양의 계수 만 있다는 결론을 내립니다. 사실 h (y) = 2y ^ 2 + 24.5이지만 다시 명시 적으로 찾을 필요는 없습니다. y = 0은 h (y)를 생성하기 위해 더해진 모든 항을 최소화하므로 y = 0이 h (y)를 최소화한다는 것을 알고 x = -3.5가 h (x)의 고유 한 최소화 기라는 결론을 내립니다.
마지막으로 x = -3.5는 g (x)와 h (x)의 고유 한 최소화 기이므로 합계의 고유 한 최소화 기이며 문제가 해결됩니다.