최상의 답변
하나를 선택하는 것이 어렵 기 때문에 선택을 맡기겠습니다. 🙂
- Euler의 정체
이 방정식은 수학에서 가장 중요한 5 개의 숫자를 결합합니다. . 다음은 다음과 같습니다.
- 1 – 다른 모든 숫자의 기초
- 0 – 무의 개념
- pi – 원을 정의하는 숫자
- e – 기하 급수적 성장의 기초가되는 숫자
- i – -1의 “가상”제곱근
2. 아인슈타인의 필드 방정식 ( 10 개의 방정식 요약)
물리학 자 John Wheeler는이를 간결하게 요약했습니다. “시공간은 이동 방법을 ; 물질은 어떻게 곡선을 그리는지 시공간을 알려줍니다. “
아인슈타인의 방정식은 우리의 우주가 시간이 지남에 따라 어떻게 변했는지 알려주고 가장 이른 순간을 엿볼 수 있습니다. 창조의 s. 많은 과학자들이 좋아한다는 것은 놀라운 일이 아닙니다.
3. 파동 방정식
파동 방정식은 파동이 전파되는 방식을 설명합니다. 그것은 물결에서 소리와 진동, 심지어 빛과 전파에 이르기까지 모든 종류의 파도에 적용됩니다.
수학적 원리가 한 영역에서 발전했다는 아이디어를위한 포스터 아이입니다. 술, 다른 분야에서 중요한 응용 프로그램을 가질 수 있습니다. 그 아름다움은 우아함, 놀라움, 지적 깊이, 유용성과 같은 속성의 조합에서 비롯됩니다.
4. 물류지도
물류지도는 혼돈 이론의 고전적인 예 중 하나입니다.
그것은 다음과 같이 요약 할 수 있습니다. 매우 단순한 규칙에서 엄청난 복잡성이 발생할 수 있습니다.
이 방정식은 동물 개체군이 시간이 지남에 따라 어떻게 늘어나고 줄어드는 지와 같은 많은 자연적 과정을 모델링하는 데 사용될 수 있습니다.
인구의 행동 방식은 직관에 반하는 방식으로 r의 값에 엄청나게 민감합니다. r이 0과 1 사이이면 인구는 항상 죽지 만 1과 3 사이이면 인구는 고정 된 값에 가까워지고 3.56995 이상이면 인구는 매우 예측할 수 없게됩니다.
이러한 행동 수학자들에 의해 “혼돈스러운”것으로 묘사되며 우리가 본능적으로 기대하는 것이 아닙니다. 그러나 그것들은 모두 수학적으로 매우 간단한 방정식에서 나온다.
지금은 그게 다입니다.
내가 방정식을 놓쳤다 고 생각한다면 말해주세요. 답변에 추가하겠습니다 🙂
Answer
지금 여기에 게시 된 PEMDAS와 관련된 기본적인 계산 문제를 많이 볼 수 있습니다.하지만 이것이 기본 수학입니다. 자신이 수학을 정말 잘한다고 생각하는 사람들의 99 \%가 맞을 수 있습니다. 또한 Bob Hock의 방정식이 매우 창의적이라는 것을 알아 챘지만 증명하기가 그렇게 어렵다고 생각하지 않습니다.
여기에 게시하는 문제는 2006 AIME II 문제 15입니다. 매우 복잡해 보이지만 창의적인 관계를 통해 매우 단순한 것으로 분류됩니다.
x, y, z가 만족하는 실수라고 가정하면
x = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}}
y = \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} { 25}} + \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {25}}
z = \ sqrt {x ^ 2- \ frac {1} {36}} + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
및 x + y + z = \ frac {m} {\ sqrt {n}}, 여기서 m과 n은 양의 정수이고 n은 소수의 제곱으로 나눌 수없는 경우 m + n을 찾으십시오.
언뜻보기에 우리는 합을 구해야하는 대수 문제를 풀고 있습니다. 첫 번째 생각은 제곱근을 어느 정도 제거하기 위해 방정식을 제곱하는 것이 될 수 있지만 그러한 방법은 분명히 지저분합니다.
각 x, y에 대해 풀 필요가 없다는 사실을 알아 두십시오. , z를 별도로하고 합계 만 필요합니다. 주어진 세 방정식을 추가하는 것을 고려할 수 있습니다.
x + y + z = \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ sqrt {z ^ 2- \ frac {1} {16}} + \ cdots + \ sqrt {y ^ 2- \ frac {1} {36}}
우리는 한쪽에 필요하지만 다른 쪽은 취소되는 것처럼 보이지 않으므로 옳지 않은 것 같습니다.
세 번째 아이디어는 제곱의 차이를 사용하여 제곱근 내부의 표현식을 인수 분해하는 것입니다. 주어진 분수는 모두 완전 제곱이기 때문입니다. 이렇게하면
x = \ sqrt {\ left (y- \ frac {1} {4} \ right) \ left (y + \ frac {1} {4} \ right)} + \ sqrt {\ left (z- \ frac {1} {4} \ right) \ left (z + \ frac {1} {4} \ right)}
등,하지만 그래도 명확한 방법은 없습니다 유용한 방법으로 요인을 조작합니다. 간단히 말해서, 한 번에 하나의 변수를 풀려고 시도 할 수 있지만 그렇게하는 명확한 방법은 없습니다.
이 문제에 대한 최선의 해결책은 기하학적으로 생각하는 것입니다. 피타고라스의 정리는 다리 a, b, 빗변 c가있는 직각 삼각형에서 a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2라고 말합니다. 이것을 조작하여 a = \ sqrt {c ^ 2-b ^ 2}를 얻을 수 있습니다. 이것은 방정식의 RHS에 대한 항의 형식입니다.
이 실현에 따라 삼각형을 그리면 첫 번째 방정식에서 높이가 \ frac {1} {4}이고 빗변이 y와 z 인 두 개의 직각 삼각형을 만들 수 있습니다. x는 각 직각 삼각형의 세 번째 길이의 합과 같습니다. 직각 삼각형의 높이를 \ frac {1} {4} 길이의 동일한 선분으로두면 측면 길이가 x, y, z이고 높이가 \ frac {1} {4} 인 더 큰 삼각형이 형성됩니다. x 측에.
두 번째와 세 번째 방정식에 대해 같은 생각을 계속하면 y와 z의 삼각형 높이가 \ frac {1} {5}와 \ frac라는 것을 알 수 있습니다. 각각 {1} {6}. 삼각형의 면적 방정식에서
\ frac {1} {2} bh = \ frac {x} {8} = \ frac {y} {10} = \ frac {z } {12}
x = \ frac {2} {3} z \ text {및} y = \ frac {5} {6} z
또한 Heron의 공식에서 추출 ,
A = \ frac {z} {12} = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} = \ frac {1} {4} \ sqrt {(x + y + z) (x + yz) (x + zy) (y + zx)}
다른 면적 공식에서 z로 대체하면 다음과 같이 단순화됩니다.
\ frac {z } {12} = \ frac {z ^ 2} {4} \ sqrt {\ frac {5} {2} \ cdot \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {6} \ cdot \ frac {7} {6}} = \ frac {5 \ sqrt {7}} {48} z ^ 2
z = \ frac {4} {5 \ sqrt {7}}
따라서
x + y + z = \ frac {2} {3} z + \ frac {5} {6} z + z = \ frac {5} {2} z = \ frac {2} {\ sqrt {7}}
그래서 m + n = 2 + 7 = \ boxed {9}