정답
예, 변장 한 몬티 홀 문제입니다. 그 문제에서“전환”은 하나의 확률이 다른 확률과 다르다는 것을 강조하는 방법 일뿐입니다. 그 문제에서 당신은 주인이 열 수있는 문을 갖고 싶었지만 열지 못했습니다. 여기서 당신은 소장이 지명 할 수 있었지만 그렇지 않은 포로가 될 것입니다. 똑같습니다.
A는 틀 렸습니다. 그는 B에 대한 정보 만 배웠고 A 나 C에 대해서는 전혀 배웠다고 생각하지 않습니다.하지만 그는 C에 대해 배웠습니다 . 소장은 그를 지명 할 수 있었지만 티. 동전 던지기 때문에 A가 사면을 받았을 시간의 50 \%가 소장은 C를 지명했을 것입니다. 그러나 그는 C가 사면을 받았을 때 B를 100 \% 지명했습니다. 이 비율 (50 \% 대 100 \%)은 C가 용서 될 가능성을 두 배로 높여줍니다.
역사적 측면 : 귀하가 인용 한 문제는 다음과 같습니다. Martin Gardner의 Scientific American 1959 년 10 월호에 처음 출판되었습니다. 같은 호에서 그는이 질문에 대해 잘못된 답을 얻은 것에 대해 사과했습니다.
- Mr. Smith에게는 두 자녀가 있습니다. 그들 중 적어도 한 명은 소년입니다. 두 자녀가 모두 소년 일 확률은 얼마입니까?
원래 대답이 1/3이라고 말했었습니다. 그러나 제시된 질문은 모호합니다. 최소한 한 명의 자녀가 소년이라는 것을 어떻게 배웠는지에 따라 다릅니다.
“적어도 한 명의 자녀가 소년?”, 1/3이 맞습니다. 그러나 그것이 당신이 배운 임의의 사실 이었다면, 즉 “적어도 한 명은 소녀”라는 것을 배웠을 수도 있다는 뜻이라면 답은 1/2입니다.
사실, 두 자녀 문제는 3 명이 아닌 4 명의 수감자가있는 3 명의 죄수 문제 또는 4 개의 문이있는 몬티 홀 문제의 변형 일뿐입니다. Gardner는 이러한 문제가 어떻게 작동하는지 명확히하기 위해 세 명의 죄수를 제시하고 동전 던지기에 대한 부분을 포함했습니다. 구체적으로 정보만으로 정보가 아닌 정보를 획득하는 과정이 답을 결정하는 과정을 보여줍니다.
답변
사후 확률보다는 조건부 확률을 고수하면 세 명의 죄수 문제를 더 쉽게 이해할 수 있습니다.
그래서 세 명의 죄수 A, B, C는 사형수 중 하나는 우연한 게임에 근거하여 사면되었습니다. 죄수 A는 소장에게 최소한 사면되지 않은 다른 죄수 중 한 사람의 이름을 밝히도록 요청합니다.
이 질문을 통해 A는 두 그룹을 만들었습니다.
- 그룹 I-A 만 참여
- 그룹 II-B와 C 참여
이 두 그룹에 해당하는 두 가지 이벤트가 있습니다.
- 그룹 I의 누군가를 사면합니다. (A 만)
- 그룹 II의 누군가 (B 또는 C)를 사면합니다.
이러한 이벤트는 동등하며 두 이벤트의 확률은 \ frac {1} {2}입니다. 두 번째 그룹 내에서 B 또는 C가 선택 될 확률은 다시 \ frac {1} {2}입니다.
감시자는 이제 B를 사면되지 않은 수감자로 지명합니다.
소장은 죄수 C에 대해 아무 말도하지 않았기 때문에 두 번째 사건 (B와 C가 관련된 그룹에서 누군가가 사면을 당함)의 확률이 여전히 동일하다는 것을 의미합니다-\ frac {1} {2}.
하지만 B가 제거 되었기 때문에 그룹 II에서 C가 사면 될 확률이 이제 \ frac {1} {2}에서 1로 증가했습니다 !!! 그것은 그의 사면 기회가 두 배가되었습니다 !!!
반면에 소장은 A 죄수에 대해 아무 말도하지 않았기 때문에 첫 번째 사건의 가능성 (누군가 첫 번째 그룹)은 여전히 똑같습니다-\ frac {1} {2}.
그래서 죄수 A의 질문은 A에게 그의 운명에 대한 새로운 정보를주지 않습니다. 반면에 수감자 C (A가이 정보를 제공)는 이제 그의 사면 기회가 두 배가되었음을 알고 있습니다.
세 수감자의 본질을 이해하기 위해 알아야 할 모든 것입니다. 문제. 그러나 Bayes의 공식을 사용하여 직감을 확인하고 싶다면. 다음과 같이 할 수 있습니다.
세 명의 수감자 문제의 베이 즈 공식화
A, B, C는 각각 수감자 A, B 및 C가 석방되는 사건에 해당하는 사건입니다.그리고 b를 교도관이 A에게 죄수 B가 처형 될 것이라고 말한 사건이라고합시다. 그러면 Bayes 정리를 사용하여 A가 사면 될 확률은 다음과 같습니다.
P (A | b) = \ frac {P (b | A) P (A)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} =
\ frac {\ tfrac12 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac13
C 확률 반면에 사면은 다음과 같습니다.
P (C | b) = \ frac {P (b | C) P (C)} {P (b | A) P (A) + P (b | B) P (B) + P (b | C) P (C)} = \ frac {1 \ times \ tfrac13} {\ tfrac12 \ times \ tfrac13 + 0 \ times \ tfrac13 + 1 \ times \ tfrac13} = \ tfrac23
따라서 A의 사후 확률은 사면 확률 (\ frac {1} {3})과 동일하게 유지되는 반면 C의 사면 확률은 두 배가됩니다.
조건부 확률이 P (b | A) (\ frac {1} {2}) 및 P (C | b) (1)라는 용어에서 사후 확률에 미치는 영향을 확인할 수 있습니다.