우수 답변
원래 답변 : 세제곱근의 좋은 추정치는 무엇입니까? 4의 근?
N의 n 번째 근은 x ^ nN = 0의 근입니다. x ^ nN의 미분은 nx ^ {n-1}이므로 근의 초기 추정치 x가 주어지면 Newton의 방법을 사용한 더 가까운 추정은 다음과 같습니다.
\ qquad F (x) = x- \ dfrac {x ^ nN} {nx ^ {n-1}} = \ dfrac {(n-1) x + \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}} {n},
~~ \ underbrace {x, x,…, x,} \_ {\ text {n-1}} \ text {및} \ dfrac {N} {x ^ {의 평균입니다. n-1}}.이 가중 평균은 x와 \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}이 N의 n 근의 추정치이며 반대 방향으로 “꺼져”있다는 것을 알게되면 의미가 있습니다. , 그리고 그 x는 \ dfrac {N} {x ^ {n-1}}보다 n-1 배 더 나은 추정치입니다.
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이제 방법을 적용 해 보겠습니다…
N = 4라고합시다. x를 4의 세제곱근에 대한 추정치라고합니다. x = 2와 같은 좋은 추측으로 시작한 다음 계산
\ qquad F (x ) = \ dfrac {2x + \ dfrac {N} {x ^ 2}} {3} ~~ 더 나은 추정치를 얻으려면
이 경우
\ qquad F (2) = \ dfrac {2 \ times2 + \ dfrac {4} {2 ^ 2}} {3} = \ dfrac {5} {3} \ approx 1.66666667…
그런 다음 x를 사용하여 반복합니다. = \ dfrac {5} {3}
\ qquad F \ left (\ dfrac {5} {3} \ right) = \ dfrac {\ dfrac {2 \ times5} {3} + \ dfrac {4 \ times 3 ^ 2} {5 ^ 2}} {3} = \ dfrac {358} {225} \ 약 1.5911111 …
근사값은 유효 숫자 3 자리 정도이므로 한 번 더 해보겠습니다.
\ qquad F \ left (\ dfrac {358} {225} \ right) = \ dfrac { \ dfrac {2 \ times 358} {225} + \ dfrac {4 \ times 225 ^ 2} {358 ^ 2}} {3} = \ dfrac {34331981} {21627675} \ approx 1.58740969614163 …
유효 숫자 약 6 자리까지 가능합니다. 반복 할 때마다 정확한 자릿수는 약 두 배가됩니다.
답변
수학에서 얼마나 많이 알고 있는지에 따라 두 가지 방법이 있습니다.
- 로그 사용
- 반복 방법 (이분법 방법, Newton-Raphson 방법 등) 사용
로그- X = 2 ^ {1/3}
그래서 log (x) = 1 / 3 * log (2)
log (x) = 1/3 * 0.30102999 = 0.100343 (근사치)
따라서 x = antilog (0.100343) = 1.2599 (근사치)
반복 방법- 나는 이분법으로 보여줄 것이고, 원한다면 다른 사람들을 시도 할 수 있습니다. (과정은 거의 같습니다.)
Let x = 2 ^ {1/3}
그래서, x ^ 3-2 = 0
Let f (x) = x ^ 3-2
우리는 f (x) <0을주고 다른 하나는 f (x)> 0을주는 두 가지 값을 선택합니다.
f (x) <0 for x = 1 and f (x)> 0 for x = 2 그래서, x1 = 1, x2 = 2
이제이 값들의 평균을 새로운 x로 취합니다
그래서 new x = (1 + 2) / 2 = 1.5
f (1.5) = 1.375> 0
1.5와 2가 모두 값을 제공한다는 것을 알 수 있습니다.> 0, 그래서 우리는 0에서 f (x)의 값을 더 멀어지게하므로 2를 버립니다. f (x)의 값을 0에 가까운 x 값만 유지합니다.
그래서 우리는 x1 = 1 및 x2 = 1.5
다시 새로운 x = (1 + 1.5) / 2 = 1.25
f (1.25) = -0.046875
이제 1을 1.25로 버리고 f (x)의 값을 0에 가깝게 제공
그래서 우리는 x1 = 1.25 및 x2 = 1.5를 취합니다
다시이 두 값의 평균으로 새로운 x를 찾습니다. 기호를 보려면 f (x)로 대체하고 그에 따라 새로운 x1 및 x2 값을 사용합니다.
답변에 만족할 때까지이 과정을 반복합니다 (최종 x).
P.S. 이러한 프로세스는 정확한 답변을 제공하지 않으므로 대략적인 답변을 중지해야합니다.