[math] \ operatorname {tr} (AB) = \ operatorname {tr} (BA) [/ math]가 참인 이유는 무엇입니까?


최상의 답변

행렬의 대각선 항목의 합이 배우기 쉽고 이해하기 쉽습니다. 그러나, 그것은 (선험적 인) 어떤 좋은 기하학적 해석이나 다른 해석을 가지고 있지 않습니다. – 그것은 단지 계산 도구처럼 보입니다.이 관점에서 그것을 공격한다는 것은 기본적으로 당신이 tr (AB) = tr과 같은 사실에 대한 계산 증명에 갇혀 있다는 것을 의미합니다. (BA).

그 자체로는 나쁜 이 아닙니다. 그것들은 이해하기 쉬우 며, 누군가가 처음에 선형 대수를 배우고있을 때 보여야하는 것을 확실히 보여줍니다. 왜 tr (AB) = tr (BA)에는 더 깊은 이유가 있지만 꽤 추상적이며 특히 이해하려면 텐서 곱이 필요합니다.

벡터에서 선형 연산자의 공간을 고려하세요. 공간 V가 다시 돌아옵니다. 특정 좌표 집합을 선택하면 이러한 연산자는 정사각형 행렬처럼 보입니다. 그러나 우리는 가능한 한 좌표를 피하는 것을 목표로 할 것입니다.

V의 이중 공간을 V ^ *로 표시합니다. V의 선형 함수 공간 — 즉, 선형 맵 \ lambda 벡터 v를 연결하면 \ lambda (v)가 스칼라가됩니다.

그런 다음 텐서 곱 V ^ * \ otimes V를 취하면 선형 연산자 V의 공간과 동형이됩니다. \ rightarrow V. 동형은 다음과 같이 작동합니다 : if w \ in V, 그러면 (\ lambda \ otimes v) w = \ lambda (w) v.

또한이 동형화에서 구성이 어떻게 작동하는지 알아낼 수 있습니다. -선형지도의 구성은 해당 행렬을 곱하는 것과 동일합니다.

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) w \ right) = (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) = \ lambda\_2 \ left (\ lambda\_1 (w) v\_1 \ right) v\_2 = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (w) v\_2

따라서

(\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) = \ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1 \ otimes v\_2)

이제 추적이 들어와? 음, V ^ * \ otimes V에서 다음과 같이 작동하는 스칼라 필드로의 자연 맵이 있습니다 : \ lambda \ otimes v = \ lambda (v). 놀라운 점은 모든 것을 좌표로 계산하면 이것이 추적이라는 것입니다.

추상적 인 계산 도구와는 거리가 먼 추적이 실제로 선형 대수학에서 기본적이고 자연스러운 맵임을 보여줍니다. . 특히 위의 분석은 tr \ left (ABA ^ {-1} \ right) = tr (B)라는 증거를 자동으로 제공합니다.

그러나 왜 더 강력한 진술 tr (AB) = tr ( BA) 사실입니까? 두 가지를 모두 계산해 보겠습니다.

tr \ left ((\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ circ (\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ right) = tr \ left (\ lambda\_2 (v\_1) (\ lambda\_1, v\_2) \ right) = \ lambda\_2 (v\_1) \ lambda\_1 (v\_2)

반면 :

tr \ left ((\ lambda\_1 \ otimes v\_1) \ circ (\ lambda\_2 \ otimes v\_2) \ right) = tr \ left (\ lambda\_1 (v\_2) (\ lambda\_2, v\_1) \ right) = \ lambda\_1 (v\_2) \ lambda\_2 (v\_1)

아 , 따라서 AB는 \ lambda\_1, \ lambda\_2 및 v\_1, v\_2 페어링에 해당하고 BA는 다른 방식으로 페어링에 해당하지만 추적을 수행하면 페어링됩니다. 다시 , 그 시점에서 차이가 없어집니다.

아름다운

답변

\ mbox {tr의 증거 } (AB) = \ mbox {tr} (BA)는 간단한 계산입니다.

\ mbox {tr} (AB) = \ sum\_i (AB) \_ {ii} = \ sum\_i \ sum\_j A\_ { ij} B\_ {ji} =

= \ sum\_j \ sum\_i B\_ {ji} A\_ {ij} = \ sum\_j (BA) \_ {jj} = \ mbox {tr} (BA).

이 질문의 “이유”부분에 대한 답변이 “예, 계산은 잘되지만 ? ”

무언가 “왜”가 사실인지 설명하는 것은 종종 불가능합니다. 여기서 AB와 BA가 실제로 추적보다 훨씬 더 많은 것을 공유한다는 것을 관찰하는 것이 도움이 될 수 있습니다. 이들은 동일한 특성 다항식을가집니다. .

또 다른 유용한 관찰은 A 또는 B가 비정 수 (가역적)이면 AB와 BA가 유사한 행렬이라는 것입니다. 왜냐하면

AB = B ^ {-1} (BA )비.

유사한 행렬은 분명히 동일한 고유 값을 가지므로 특히 추적이 동일합니다. 단수 경우에도 동일하게 적용된다는 결론을 내리기 위해 연속성 (이것이 합리적 일 경우)에 의해 논쟁 할 수 있습니다.

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