최상의 답변
\ frac {d} {dx}는 “사물”이 아닙니다. 액션이나 오퍼레이션의 이름 또는 하나의 입력을받는 함수로 생각해야합니다. [1]
구체적으로 f (x)가 함수라면 우리는 해당 기능에 대한 차별화 작업을 수행합니다. 액션을 작성하는 한 가지 방법은 \ frac {d} {dx} f (x)입니다. 이는 f (x)가 x에 대한 미분 연산의 입력이라는 것을 의미합니다.
문법적으로 \ frac {d} {dx}는 “완전한 문장”이 아닙니다. , 또는 자급 자족 명사. 직접 목적어가 필요한 동사와 비슷합니다. 그 직접 목적어는 x의 모든 함수가 될 수 있습니다. 특히 y가 x의 함수이면 \ frac {d} {dx} y가 쓰는 것이 합리적입니다. . 영어에서이 문구는 “y의 x에 대해 미분을 취한 결과”를 의미합니다. 간결함을 위해 일반적으로 \ frac {dy} {dx}로 작성합니다. \ frac {d} {dx} 표기법으로, 제가 해왔 듯이 오른쪽에 미분 연산에 대한 입력을 계속 작성하는 것이 좋습니다.
두 번째 질문에 대한 연쇄 규칙은 다음과 같습니다. 함수 구성의 미분을 계산하는 방법입니다.
[1] 예, 알아요, 함수도 마찬가지입니다.
답변
함수 :
(1) \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n} \ right) \ mapsto f \ left (x\_ {1}, …, x\_ {n } \ right) 여기서 x\_ {1} = x\_ {1} \ left (t \ right), …, x\_ {n} = x\_ {n} \ left (t \ right)
Let “s 계산 \ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t}. (1)을 미분하면 다음을 얻을 수 있습니다.
(2) df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f } {\ partial x\_ {n}} dx\_ {n}
양변을 dt로 나누면 결과는 다음과 같습니다.
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {1}} {\ text {d} t} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} \ frac {\ text {d} x\_ {n}} {\ text {d} t}
최종 결과 :
\ frac {\ text {d} f} {\ text {d} t} = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} x “\_ {1} (t) + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {n}} x “\_ {n} (t)이 파생은 다 변수 함수의 미분 정의를 사용하여 수행됩니다 (방정식 (2)).
어떻게이 정의를 얻었습니까? 먼저 어떤 지점 A에서 f가 미분 가능하다고 정의하는 방법을 살펴 보겠습니다.
어떤 지점 A에서 함수 f의 총 미분을 보여줄 수 있다면 다음과 같습니다.
\ 삼각형 f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} \ triangle x\_ {k} + \ omega (X) \ rho (X, A)
여기서 p\_ {k}는 숫자 계수입니다. \ omega는 \ lim\_ {X \ rightarrow A} \ omega (X) = \ omega (A) = 0이고 \ rho (X, A)는 A와 X 사이의 유클리드 거리라는 속성을 가진 함수입니다. 함수 f는 점 A에서 미분 할 수 있습니다.
이제 정리가 하나 더 필요합니다.
Expression \ omega (X) \ rho (X, A) from the above can 다음과 같이 작성하십시오.
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ sum\_k ^ n \ epsilon\_ {k} (X) (x\_ {k} -a\_ {k})
증명 :
\ omega (X) \ rho (X, A) = \ omega (X) \ frac {\ rho (X, A) ^ {2}} {\ rho ( X, A)} = \ omega (X) \ frac {\ sum\_k ^ n (x\_ {k} -a\_ {k}) ^ {2}} {\ rho (X, A)} = \ sum\_k ^ n \ left (\ frac {\ omega (X) (x\_ {k} -a\_ {k})} {\ rho (X, A)} \ cdot \ left (x\_ {k} -a\_ {k} \ right) \ right)
| x\_ {k} -a\_ {k} | \ leq rho (X, A)부터 | x\_ {k} -a\_ {k} |는 에지 d \ rho (X, A)는 직각 평행 육면체의 대각선입니다. 분수를 \ epsilon\_ {k} (X)로 할 수 있습니다.
이제 미분을 얻기 위해 정리가 하나 더 필요합니다.이 정리는 함수의 미분을 얻기 위해 필요한 조건을 제공합니다.
함수 f가 다음과 같을 수 있다면 어떤 지점 A에서 미분하면 그 지점에서 편미분이 있고 다음과 같은 것이 사실입니다.
(1) L (X) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} (x\_ {k}- a\_ {k}) = \ sum\_k ^ n \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {k}} | \_ {A} (x\_ {k} -a\_ {k})
증명 :
f는 점 A에서 미분 할 수 있다고 말 했으므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
f (X) -f (A) = \ sum\_k ^ n p\_ {k} ( x\_ {k} -a\_ {k}) + \ omega (X) \ rho (X, A)
여기서 n-1 개의 변수가 일정하다고 가정 해 봅시다. 예 : x\_ {2} = a\_ {2}, …, x\_ {n} = a\_ {n}, 다음과 같이됩니다.
f (x\_ {1}, a\_ {2 }, …, x\_ {n})-f (a\_ {1}, a\_ {2}, …, x\_ {n}) = p\_ {1} (x\_ {1} -a\_ {1}) + \ omega (X) | x\_ {1} -a\_ {1} |. 왼쪽에는 x\_ {1}에 대한 미분이 있습니다. 양쪽을 x\_ {1} -a\_ {1} = \ triangle로 나누면 x\_ {1} 결과 :
\ frac {\ triangle f\_ {x\_ {1}}} {\ triangle x\_ {1}} = p\_ {1} + \ omega (X) \ cdot sgn (x\_ {1} -a\_ {1})
이제 x\_ {1} \ mapsto a\_ {1} , 즉 \ triangle x\_ {1} \ mapsto 0입니다. 왼쪽에는 x\_ {1}에 대한 편차가 있고 오른쪽에는 p\_ {1}가 남습니다. 왜냐하면 \ omega (X) \ mapsto 0. 어떤 변수가 변경 되더라도 동일한 결과가 적용된다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서이 정리를 입증했습니다. 여기에서
df = \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ {1}} dx\_ {1} + … + \ frac {\ partial f} {\ partial x\_ { n}} dx\_ {n}를 사용하여 해를 구했습니다.