우수 답변
여기에서 원하는 답변을 이해할 수 있습니다. 전통적으로 접기는 사물의 가치입니다. 어고, 한 배 증가는 100 \%입니다. 그러나 대부분의 사람들은 두 배의 관심을 사물의 가치 (200 \%)의 두 배 (일반적인 정의)로 간주하기 때문에 혼란을 야기합니다. Collins s Dictionary of Mathematics조차도 “-fold”를 “times”를 의미하는 것으로 정의합니다. “two-fold”는 “two times”와 같으며 이는 double과 같습니다. 일부 과학자들은 “fold”를 수학 용어 “와 동의어로 사용합니다. “3 배 더 크게”는 “3 배 더 크게”를 의미합니다. 그러나 다른 사람들은 전통적으로 사물의 총 가치를 설명하기 위해 “폴드”를 사용한다고 주장합니다. 따라서 “60은 30보다 한 배 더 큽니다.”
이렇게한다고해서 기존 방식보다 인기있는 버전을 쉽게 결정할 수는 없지만 오해를 피하기 위해 일상적인 사용에서 인기있는 정의를 고수 할 수 있습니다.
답변
흥미로운 질문입니다. 분석해 보겠습니다.
- 결정자는 왜 계산됩니까? ?
솔직히, 선형 대수 테스트에서 요청하는 경우를 제외하고 행렬식을 계산해야하는 이유는 단 하나도 없습니다. 결정자는 솔루션의 존재 증명에 사용됩니다. 결정자가 중요한 역할을하는 Ax = b 형식의 선형 방정식 세트로 변환합니다. Cramer의 규칙-Wikipedia
이 많은 사람들이이 규칙이 해결책을 계산 하는 좋은 방법이라는 결론에 이르게했습니다. 그렇지 않습니다. 이유를 설명하겠습니다.
2. 행렬식이 계산 된 방식으로 계산되는 이유
선형 대수 101에서 가장 먼저 배우는 것은 행이나 열을 따라 행렬식을 확장하는 것입니다. 이는 다음과 같이 재귀 적으로 공식화 될 수 있습니다.
\ displaystyle \ det (A) = \ sum\_ {k = 0} ^ n (-1) ^ {k + j} a\_ {kj} \ det (A\_ {kj})
여기서 A\_ {kj }은 A의 k 번째 행과 j 번째 열을 버림으로써 얻을 수있는 부분 행렬입니다. 행렬이 3 \ times3 또는 4 \ x4이면 괜찮습니다. n = 5 일 때 지루해지고 더 큰 n에 대해서는 실행 취소 할 수 있습니다. . 하지만 우리는 컴퓨터를 가지고 있지 않나요? 괜찮아. 과학적으로이 작업을 수행하고 작업 수를 계산해 보겠습니다. 이런 식으로 n \ times n 행렬식을 계산하는 연산의 수를 T\_n이라고합시다. 선형 대수 문맥에서 “연산”은 곱셈과 덧셈입니다. 그럼 분명
T\_n = nT\_ {n-1}
이봐! 종이 울리지 않나요? 네, 이것은 교수 기능이고 T\_n = n !. 이제 초당 10 ^ {20} 작업을 수행 할 수있는 컴퓨터가 있다면 양자 컴퓨터가 작동하고 행 또는 열 확장으로 100×100 결정자를 계산해야하는 경우에만 발생할 수 있습니다.
100! = 9.3326E157
작업. 그리고 100 \ times100은 과도하지 않으며 산업 응용 프로그램은 종종 수백만 달러에 이릅니다. 이제 1 년에는 366 \ cdot24 \ cdot3600 = 31622400 초가 있으므로 연간 3.2E27 작업을 수행 할 수 없습니다. 이는 9.3E157의 바다로 떨어질뿐입니다. 더 구체적으로 말하면, 우리는 3E130 년 정도가 필요하며, 우주의 추정 나이가 13.8E9 (만약 창조론자라면 6E3) 년이라는 사실을 감안할 때 우리는 2 년 짧습니다.
결론 : 이것은 행렬식을 계산하는 좋은 방법이 아닙니다.
그리고 Cramer의 규칙에 따라 해를 계산하려면 101 개의 행렬식을 계산해야합니다. Cramer의 규칙은 전혀 r00l이 아닙니다! 실제적인 가치가 아니라 이론적 인 것입니다.
그래서 LU 분해 ( LU 분해-Wikipedia )를 사용하여 계산해야합니다. 결정자이며 추가 이점으로 시스템 Ax = b에 대한 솔루션을 제공합니다. LU의 작업 수는 \ frac13n ^ 3입니다. 행렬식을 얻으려면 U의 모든 대각선 요소를 곱합니다. (\ cal O (n)). 시스템 Ax = b의 솔루션을 얻으려면 또 다른 n ^ 2 연산이 필요합니다. 따라서 3.34E5 작업이 필요한 모든 작업을 수행하면 10 ^ {-14} 초만에 준비가 완료됩니다.
Sheldon Axler는 행렬식을 사용하지 않는 선형 대수 텍스트를 작성했습니다. https://zhangyk8.github.io/teaching/file\_spring2018/linear\_algebra\_done\_right.pdf
그리고 Alon Amit (“매트릭스가 형편 없다, 연산자 규칙”)가 승인 할 것이라고 확신합니다.