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1. 숫자의 뿌리.
초등학교에서 우리는 숫자의 제곱근이 실제로 질문이라는 조언을 받았습니다. 숫자를 얻기 위해 몇 번이나 곱한 숫자가 루트입니다. 예 : 2 × 2 × 2 × 2 = 16이므로 3 × 3 = 9 16 = 2의 네 번째 루트이므로 9 = 3의 제곱근입니다. 그러나 뿌리의 본질은 “수 체계를 이성에서 실물로 확대 한 응용으로 더 근본적이다. 즉, 뿌리를 찾는 작업을 사용하기 위해서는 수 체계를 확장하여 비합리적인 숫자를 도입하여 “루팅”하는 작업입니다. 유리수는 +,-, ×, ÷에 대해서는 닫히지 만 √에는 닫히지 않습니다. 예를 들어 √2는 비율로 표현할 수 없습니다. 피타고라스 사람들은 이것을 알고 시도 했어야합니다. 정사각형이 아니기 때문에 만찬을하세요.
2. 방정식의 뿌리
우리가 들었던 본질은 곡선이 x 축. 이것은 다항식에 따라 한 번, 두 번, 세 번 발생할 수 있습니다. 우리 모두가 배운 것을 계산하기 위해 규칙이 고안되었습니다. 그리고 질문을 받았습니다. 곡선이 x 축을 자르지 않으면 어떻게됩니까? 가상의 근이고 이것은 b ^ 2-4ac 일 때 발생했습니다. 이것은 숫자 시스템에 대한 또 다른 확장이 필요했습니다. 필요하므로 음수의 근을 포함하는 복소수 체계가 발명되었습니다. 그래서 “뿌리”의 본질은 유리수를 넘어서 수 체계를 확장하는 것이 었습니다.
답변
나는 당신이 “자연 동형”이라는 의미에서 “자연”을 의미한다고 생각합니다. 어떤 것이“자연적”이거나“표준 적”이라면 이는 대략 임의의 선택의 결과가 아님을 의미합니다. 그것은 당연히 문맥에 의해 결정됩니다.
“자연스러운”것의 동기를 부여하는 예 중 하나는 유한 차원 벡터 공간 V와 이중 이중 V ^ {\ vee \ vee} 간의 동형입니다. 동형은 v \ in V에서 E\_v \ in V ^ {\ vee \ vee}로, 여기서 E\_v (\ phi) = \ phi (v)는 \ phi \ in V ^ \ vee입니다. 벡터 v를 v에서 이중 벡터를 평가하는 맵 E\_v로 보냅니다. 이것은 당연합니다. 임의의 선택이 이루어지지 않았으며 관련된 객체의 정의와 관계에서 직접 벗어났습니다.
이 두 공간 또는 코스 사이에 다른 동형이 있지만 이것은 “올바른 선택”입니다. 다른 선택은 부자연 스럽습니다. 예를 들어 v를 E\_ {A (v)}로 보낼 수 있습니다. 여기서 A : V \ to V는 V의 임의의 선형 자동 변형입니다.하지만 … 왜? 당연한 선택 인 v \ mapsto E\_v가 눈앞에 있기 때문에 A를 전혀 소개 할 이유가 없습니다. “자연”과 “부 자연스러운”동형 사이의 차이가 충분히 명확하기를 바랍니다.
반면에 자연 동형 L : V \ to V ^ \ vee는 없습니다. 동형을 구성하려면 임의의 선택이 필요합니다. 기저 b\_1, \ dots, b\_n을 선택하고 L (b\_i)를 b\_i를 1로, 다른 모든 기저 벡터를 0으로 취하는 이중 벡터로 선언 할 수 있습니다. 이것은 완벽하게 미세한 동형을 정의하지만 정확히 똑같이 할 수 있습니다. 다른 기초와 다른 것과 동등하게 유효한 동형을 얻습니다. 자연스럽고 하느님 께서 주신 * 방식으로 선택할 수있는 방법은 없습니다.
매우 거칠고 비공식적 인 설명입니다. 범주 이론에 의해 정확해질 수 있습니다. 펑터와 자연 변형은 어떤 상황에서 무언가를 “자연스럽게”만드는 것에 대해 생각하는 올바른 방법을 제공합니다. 개념에 대한 내 자신의 직관을 전달하기 위해 최선을 다했습니다. (범주) 세부 사항에 대한 준비가 될 때까지 충분할 것이라고 생각합니다.
* 그럼에도 불구하고 수학의 신학 / 온톨로지