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행렬 (그리고 행렬이 나타내는 연립 방정식 시스템)인지 확인하는 방법에는 두 가지가 있습니다. )에 고유 한 솔루션이 있는지 여부.
a. Cramer의 방법.
연립 방정식을 행렬 형식 AX = B로 변환합니다. 여기서 A = 계수 행렬, X = 변수 행렬 및 B = 결과 행렬
계수 행렬의 이름을 D로 지정합니다. 3 x 3 행렬의 경우 D 행렬의 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 열을 결과 열 행렬로 대체하여 행렬 Dx, Dy 및 Dz를 얻습니다.
- D가 0과 같지 않고 Dx, Dy 및 Dz 중 적어도 하나가 0이 아니면 연립 방정식은 일관되고 고유 한 해를 갖습니다.
- D 인 경우 = 0이고 Dx, Dy 및 Dz = 0이지만 계수 행렬 (aij)의 구성 요소 중 적어도 하나 또는 2 x 2 마이너 중 하나 이상이 0과 같지 않으면 방정식 시스템은 일관성이 있습니다. 무한히 많은 해가 있습니다.
- D = 0이고 Dx, Dy 및 Dz 중 하나 이상이 0이 아니면 방정식 시스템이 일치하지 않습니다 (해 없음).
따라서 연립 방정식은 값이 결정자의 값이 0이 아닙니다.
b. 순위 방법
연립 방정식을 행렬 형식으로 적어 둡니다. AX = B 여기서 A = 계수 행렬, X = 변수 행렬, B = 결과 행렬
행렬 A의 순위를 찾으세요.
증강 행렬 [A, B]를 적어보세요
증강 행렬 [A, B]의 순위를 찾으세요
- 1. 행렬 A의 순위가 증강 행렬의 순위와 같지 않으면 연립 방정식이 일관되지 않고 해가 없습니다.
- 두 행렬의 순위가 다음 행렬의 개수와 같고 같은 경우 시스템의 알 수없는 변수이고 행렬 A가 특이 값이 아니면 연립 방정식은 일관되고 고유 솔루션이 있습니다.
- 두 행렬의 순위가 같지만 순위가 다음보다 작은 경우 미지수의 수, 방정식 시스템은 일관되고 무한히 많은 솔루션을 가지고 있습니다. 따라서 불일치 및 솔루션 없음, 고유 솔루션과 일치, 무한 많은 솔루션과 일치라는 세 가지 가능성 만 있습니다.
따라서 시스템이 생산됩니다. 계수 행렬의 순위 = 증강 행렬의 순위 = 미지의 수
Answer
이론은 Ax = b \ det (A) \ neq0이면 고유 한 솔루션이 있고 그렇지 않으면 솔루션이 없거나 무한히 많습니다. 이 경우 행렬은 singular 라고합니다.
Practice는 이것이 거의 발생하지 않는다는 것을 알려줍니다. 그래서 모든 방정식 세트를 풀 수 있습니까? 예, 아니오. 행렬이 거의 단수이면 해를 얻을 수 있지만 의미가 없습니다. 그 이유는 오른쪽의 작은 변동이 솔루션에 막대한 변동 (몇 배 정도)을 유발할 수 있기 때문입니다. 이 경우 시스템은 조건 부족 이라고합니다. 계산 과정에서 거의 동일한 양을 빼서 유효 숫자를 잃을 수 있기 때문에 이것은 나쁜 것입니다.
어떻게 알 수 있습니까? 조건 번호 \ kappa (A) = \ | A ^ {-1} \ | \ | A \ | 이론적 측정입니다. 최상의 값은 1이며 클수록 더 나빠집니다. 하지만 계산하기가 그렇게 쉽지는 않습니다.이 문제를 해결하는 실용적인 방법은 오른편의 작은 무작위 섭동을 취하고 두 솔루션을 비교하는 것입니다. 두 솔루션이 크게 다르면 조건이 나쁜 시스템입니다.