최상의 답변
2x + y = 5, x-y = 1에는 x =의 고유 솔루션이 있습니다. 2, y = 1. 선 2x + y = 5, x-y = 1은 하나의 점에서만 교차하며 즉 (1,2)입니다.
다음과 같은 두 개의 평행선이있는 경우 x-y = 1 및 x-y = 7 그러면 방정식 x-y = 1, x-y = 7에 대한 해가 없습니다.
두 방정식이 실제로 x- y = 1,5 x-5y = 5 그러면 해당 선에있는 모든 점은 x = 3, y = 2 또는 x = 1,000 y = 999와 같은 솔루션이며 고유 한 솔루션이 없습니다.
It x, y, z와 같이 3 개의 변수가있는 상황에서 좀 더 흥미로워집니다.
2x + y + z = 4, x-y = 0, x-z = 0은 고유 한 x = 1, y = 1, z = 1의 해입니다. 평면 2x + y + z = 4, x-y = 0, x-z = 0은 단 하나의 점에서 교차하며 즉 (1,1, 1).
x + y + z = 1, x + y + z = 4 및 x + y + z = 8과 같은 세 개의 평행 평면이있는 경우 방정식 x에 대한 해가 없습니다. + y + z = 1, x + y + z = 4 및 x + y + z = 8입니다.
한 방정식이 다른 두 개의 선형 조합이면 고유 한 해가 없습니다. 다음은 2x + y + z = 4, x-y = 0, 3x + z = 4의 예입니다. (1,1,1)은 해일뿐만 아니라 (2,2, -2) 및 (3, 3, -7). 사실 무한대의 해가 있습니다.
이유는 한 방정식이 다른 방정식의 선형 조합이기 때문입니다.
3x + z = 4 is 1 (2x + y + z = 4) +1 (x-y = 0).
이에 대한 많은 언급이 있지만 선형 시스템에서 고유 한 솔루션이 무엇인지에 대한 아이디어를 얻을 수 있기를 바랍니다.
Answer
제 대답은 먼저 이것이 선형 부등식 시스템과 비교하여 선형 방정식 시스템이라고 가정하는 것입니다.
짧은 답변 -상호 배타적 인 옵션 : 솔루션 없음, 하나의 고유 솔루션 또는 무한한 수의 솔루션.
긴 답변 -해의 유형은 선형 시스템에서 몇 개의 방정식과 얼마나 많은 변수가 시스템을 설명 할 것인지에 따라 어느 정도 다릅니다.
대수적으로 :
- 솔루션이없는 시스템을 일관되지 않은 시스템 . 이는 시스템의 모든 방정식을 동시에 해결하는 변수에 대한 값 집합이 없음을 의미합니다. 다음 시스템이 일치하지 않습니다.
- x + 2 y + 6 z = 5
- – x -2 y -6 z = 3
- x -4 y -2 z = 1
- 정확히 하나의 솔루션이있는 시스템을 일관되고 독립적 인 시스템이라고합니다. 각 방정식이 다른 방정식과 독립적이기 때문에 솔루션이 존재하고 독립적이기 때문에 일관성이 있습니다. 이것은 솔루션의 변수에 대한 각 값이 다른 변수의 값과 독립적임을 의미합니다. 시스템의 모든 방정식을 동시에 해결하는 정확히 하나의 값 세트 (변수 당 하나의 값)가 있습니다. 다음은 x = 5 y <솔루션을 사용하는 일관되고 독립적 인 시스템 (mathisfun.com에서 가져옴)입니다. / span> = 3 z =-2.
- x + y + z = 6
- 2y + 5z = -4
- 2x + 5y-z = 27
- 무한히 많은 솔루션이있는 시스템을 일관되고 종속 된 시스템이라고합니다. 시스템의 하나 이상의 방정식이 다른 방정식의 배수이거나 다른 방정식의 조합이기 때문에 종속적입니다. 즉, 시스템의 다른 변수는 모든 시스템을 동시에 해결하는 하나의 값만 가지고 있지만 하나 이상의 변수는 임의의 값으로 시스템을 해결할 수 있습니다. 다음은 솔루션이있는 일관된 종속 시스템입니다. y = 1/5-4 x / 5; z = 7/5- x / 5.
- x + y + z = 5
- x + 2 y -3 z = 3
- 2 x + 3 y -2 z = 8
그래픽 (예 : 변수 시스템 3 개) :
- 두 변수가있는 시스템은 2 차원 그래프에서 선 그룹으로 나타낼 수 있습니다 (일반적으로 xy), 변수가 세 개인 시스템은 3 차원 그래프 (일반적으로 xyz)의 선 또는 평면 모음입니다.따라서 n 많은 변수가있는 시스템은 n- 차원 그래프에 표시됩니다.
- 일관되고 독립적 인 시스템 에서 모든 평면은 한 지점에서 만납니다 (예 : 모서리에서 벽 2 개와 바닥 회의). 위에서 대수적 답에 사용 된 일관되고 독립적 인 시스템에서 세 평면은 모두 점 (5,3,2)에서 교차합니다.
- 에서 일관성 , 종속 시스템 , 모든 비행기는 한 지점에서 만나는 것이 아니라 한 줄에서 만나게됩니다 (예 : 책의 3 페이지가 등뼈에서 만남). 위의 대수적 답에 사용 된 시스템에서 세 평면은 모두 선 -5 y + 20 z = 27 ( x 는 솔루션의 모든 값이 될 수 있음).
- 일관되지 않은 시스템 , 최소 두 개의 평면이 평행하므로 만나지 않습니다. 세 번째 평면은 두 평면 (예 : 거리의 도로 선)과 평행하거나 둘 다 교차 할 수 있지만 동일한 위치에 있지 않을 수 있습니다. (예 : 방과 천장의 반대쪽 벽).