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Del 연산자는 벡터의 미분을 찾는 방법입니다. 스칼라 함수의 도함수를 찾는 데 익숙 할 것입니다. 이는 다음 형식으로 표현 될 수 있습니다.
\ displaystyle \ frac {df (x)} {dx} = f “(x)
여기서 f (x)는 x의 함수이고, f “(x)는 그 미분이고, \ frac {d} {dx}는 처음에 미분을 취하라고 알려주는 용어입니다. \ frac {d} {dx}를 미분 연산자로 생각할 수 있습니다. 옆에있는 것의 미분을 취하라고 지시하기 때문입니다.
이제이 작업도 수행하고 싶습니다. 벡터의 경우 대부분 직교 좌표 (x, y 및 z의 함수)로 표현되는 것입니다. 왜? 많은 물리적 현상 (예 : 전기장 또는 중력장)을 벡터로 설명 할 수 있고 이러한 현상의 변화 (및 그에 따른 미분)가 중요하기 때문입니다.
그래서 벡터의 미분을 어떻게 취합니까? ? Del 연산자를 사용합니다. 벡터와 함께 사용하고 싶기 때문에 벡터 자체가되어야합니다. 그리고 우리는 x뿐만 아니라 세 가지 데카르트 좌표 모두에 사용하기를 원하기 때문에 더 많은 문자를 가질 것입니다. 궁극적으로 Del 연산자는 위의 미분 연산자와 매우 유사하지만 몇 가지 용어가 더 있습니다.
\ displaystyle \ nabla = {\ hat x} \ frac {\ partial} {\ partial x } + {\ hat y} \ frac {\ partial} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial} {\ partial z}
\ nabla는 우리가 Del Operator, 기호는 공식적으로 나 블라입니다. 나는 솔직히 그것이 거꾸로 된 델타라고 배웠다! x에 대한 미분 외에도 이제 y 및 z에 대한 부분 파생물도 사용합니다. 편미분을 취하면 하나를 제외한 모든 변수를 상수로 취급하고 선택한 변수에 대한 미분을 취합니다.
이제 벡터를 곱하는 방법은 두 가지이므로 자연스럽게 벡터 미분을 취하는 두 가지 방법. 벡터를 곱하는 두 가지 방법은 내적 과 교차 곱 을 사용하는 것입니다. ; 각 곱셈의 결과는 각각 스칼라 값과 벡터 값입니다.
내적을 사용하는 예는 전기장의 발산을 계산하는 것입니다.
\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ rho} \_v
여기서 내적을 사용하여 도함수를 취하고 스칼라 값 {\ rho} \_v를 남깁니다. 영역.
외적을 사용하는 예는 전기장의 컬을 계산하는 것입니다.
\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} =-\ frac {d \ mathbf {B}} {dt}
여기서 우리는 외적을 사용하여 도함수를 취하고 벡터 값 \ mathbf {B} (구체적으로는 시간 도함수)를 남깁니다.
Del 연산자는 벡터 외부에서도 유용합니다. Del 연산자를 세 가지 다른 것의 합계로 취급하면 스칼라 함수를 곱할 수 있으며 해당 함수는 전체에 분산됩니다.
\ displaystyle \ nabla f (x, y, z) = {\ hat x} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x} + {\ hat y} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial y} + {\ hat z} \ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial z}
이 경우 스칼라를 벡터로 변환했습니다! 이것은 스칼라 함수의 기울기를 취하는 것으로 알려져 있습니다. 기능이 가장 빠르게 변경되는 방향을 알려주는 것입니다. 이는 다음과 같은 형식을 취하는 잠재적 필드에 자주 사용됩니다.
\ displaystyle F =-\ nabla \ mathbf {U}
여기서 \ mathbf {U}는 위치 에너지 (예 : 용수철 또는 중력)이고 F는 해당 필드에 배치되어 발생하는 힘입니다. 이것은 여전히 벡터 미분입니다. 델 연산자를 앞서 설명한 것처럼, 벡터의 벡터 미분 대신 스칼라의 벡터 미분이라는 것입니다. 예, 그것들도 존재합니다!
그리고 계속됩니다. {\ nabla} ^ 2라는 용어를 보셨을 것입니다. 이것은 Laplacian으로 알려져 있으며 파동 방정식과 같은 것들에서 볼 수 있습니다. 본질적으로 Del 연산자를 연속으로 두 번 사용하는 것입니다. 더 많은 변수가있는 다른 좌표계로 확장하거나 2 차원 또는 1 차원으로 축소 할 수 있습니다. 이것은 매우 중요한 개념이며 거의 모든 물리학 분야에서 사용됩니다!
Answer
del 연산자 (때로는 nabla라고도 함)는 다음과 같이 정의됩니다. 데카르트 좌표 :
\ nabla \ equiv \ frac {\ partial} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial} {\ partial z} \ hat {k}
물리적 의미에 관해서는?
del 연산자 공간적 도함수에 해당하는 벡터 미적분 역할을합니다. del 연산자와 관련된 세 가지 유형의 도함수가 있습니다. A가 벡터이고 \ phi가 스칼라라고 가정합시다.
그라디언트 : grad (\ phi) = \ nabla \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} \ hat {i} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} \ hat {j} + \ frac {\ partial \ phi} {\ partial z} \ hat {k}
발산 : div (A) = \ nabla \ cdot A = \ frac {\ partial A\_x} {\ partial x} + \ frac {\ partial A\_y} {\ partial y} + \ frac {\ partial A\_z} {\ partial z}
The 컬 : curl (A) = \ 나 블라 \ times A = \ begin {vmatrix} \ hat {i} & \ hat {j} & \ hat {k} \\ \ frac {\ partial} {\ partial x} & \ frac {\ partial} {\ partial y} & \ frac {\ partial} {\ partial z} \\ A\_x & A\_y & A\_z \ end {vmatrix}
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도움이되기를 바랍니다!
참고 : 이 모든 방정식은 다른 좌표계 (예 : 구형, 원통형)에서 다릅니다. . 조심하세요!