정답
정체성을 증명하는 방법은 본인의 방식에 따라 크게 달라집니다. 사인과 코사인을 생각해보세요.
사인과 코사인을 직각 삼각형의 변의 비율로 생각하면 (고등학교 에서처럼 사인을 빗변의 반대로 가르치는 경우) 직각 삼각형이됩니다. 측면 a, b, c; a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 (후자는 피타고라스 삼각형), \ sin \ theta = \ frac {a} {c}, \ cos \ theta = \ frac {b} {c}, \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = (\ frac {a} {c}) ^ 2 + (\ frac {b} {c}) ^ 2 = \ frac {a ^ 2} {c ^ 2} + \ frac {b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2} {c ^ 2} = \ frac {c ^ 2} {c ^ 2} = 1.
사인과 코사인을 단위 원 (원의 호 길이로 매개 변수화)에있는 점의 좌표로 생각하면 단위 원의 정의에 따라 모든 점이 x ^ 2 + y ^ 2 =를 충족합니다. 1이므로 점 (\ sin \ theta, \ cos \ theta)도 마찬가지이므로 \ sin ^ 2 \ theta + \ cos ^ 2 \ theta = 1입니다.
사인과 코사인도 다음과 같이 정의 할 수 있습니다. \ sin 0 = 0, \ sin 0 = 1, \ cos 0 = 1, \ cos0 = 0 인 미분 방정식 f = -f에 대한 독립 솔루션. 방정식에 대한 독립 솔루션은 두 개뿐이므로 , f ^ {(n)}이해라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. \ sin x, \ sin x, \ sin x는 독립적 인 해가 될 수 없습니다. 사실, \ sin x =-\ sin x, 그래서 \ sin 0 = 1, \ sin 0 = 0, 그래서 \ sinx = \ cos x, \ cosx =-\ sin x . 이것으로부터 우리는 암시 적으로 \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x를 미분하여 2 \ sin x \ sin x + 2 \ cos x \ cosx = 2 \ sin x \ cos x + 2 \ cos x ( -\ sin x) = 0. 따라서 \ sin ^ 2x + \ cos ^ 2x의 값은 상수이고, 0에서 평가하면 \ sin ^ 2 0 + \ cos ^ 2 0 = 0 ^ 2 + 1 ^ 2 = 0 + 1 = 1이므로 \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x = 1.
사인과 코사인은 멱급수 \ sin x = x-\ frac {x로도 정의 할 수 있습니다. ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!}-\ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n + 1} } {(2n + 1)!}, \ cos x = 1-\ frac {x ^ 2} {2!} + \ frac {x ^ 4} {4!}-\ cdots = \ sum\_ {i = 0} {\ infty} (-1) ^ n \ frac {x ^ {2n}} {(2n)!} \ sin ^ 2 x + \ cos ^ 2 x 표현식에서 이러한 멱급수를주의 깊게 확장하면 x ^ n 취소와 관련된 모든 항이 표시되고 상수 항 1 만 값으로 남겨집니다.
답변
이것을 생각하려면 삼각비가 무엇인지 고려해야합니다. 사인 비는 각도 또는 o / h에서 빗변 위의 변의 반대 각도와 같다는 것을 알고 있습니다. 우리는 또한 코사인 비율이 빗변 또는 a / h의 각도에 대해 인접한 변과 같다는 것을 알고 있습니다. 다음으로,이 두 비율이 제곱되어 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 삼각 동일성 sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1이 (o / h) ^ 2 + (a / h)와 같습니다. ^ 2 = 1, 이는 o ^ 2 / h ^ 2 + a ^ 2 / h ^ 2와 같습니다. 공통 분모가 있으므로이 두 방정식을 결합하여 (o ^ 2 + a ^ 2) / h ^ 2를 얻을 수 있습니다. 그런 다음 이것을보고 삼각형의 모든 변을 정의하고 있음을 알 수 있습니다. 우리는 피타고라스 정리에 의해 a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2라는 것을 압니다. o, a, h의 각각의 값은 삼각형의 서로 다른 변이기 때문에 a, b, c와 같다는 것을 알 수 있습니다. 피타고라스 정리에서 c의 값은 직각 삼각형의 빗변이므로 h = c입니다. 이것은 a와 b가 o와 a와 같다는 것을 의미합니다. 결과가 변경되지 않으므로 어떤 문자에 어떤 문자가 할당되어 있는지는 중요하지 않습니다. 그러면 피타고라스 정리를 통해 a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2가 o ^ 2 + a ^ 2 = h ^ 2로 이어지는 것을 알 수 있습니다. 이것은 이전 방정식의 분자를 대체하여 (h ^ 2) / (h ^ 2)와 동일하게 만들 수 있음을 의미합니다. 마지막으로, 우리는 그 자체로 나눈 변수가 1과 같다는 것을 알고 있습니다. 따라서이 방정식은 1과 같습니다. 원래 방정식으로 되돌아 가면 sin ^ 2 (x) + cos ^ 2 (x) = 1.