정답
이를 증명하려면 사인 빼기 공식을 사용하십시오.
ie, sin (ab) = sin (a) cos (b) -cos (a) sin (b)
여기 a = π 및 b = x
sin (π -x) = sin (π) cos (x) -cos (π) sin (x)
= 0 × {cos (x)}-{-1 × sin (x)}
= 0-{-sin (x)}
= sin (x)
이로써 입증
답변
증명 1 :
증명하는 가장 간단한 방법
cos (π / 2-x) = sin x
삼각 공식에 A = π / 2, B = x를 넣는 것입니다
cos (AB) = cos A. cos B + sin A. sin B ………………………………. (1)
그리고
cos (π / 2-x) = cos π / 2. cos x + sin π / 2. sin x ………………………. (2)
(2)에서 cos π / 2 = 0 및 sin π / 2 = 1 대입
cos ( π / 2-x) = 0. cos x + 1. sin x = 0 + sin x
∴cos (π / 2-x) = sin x (증명 됨)
증명 2 :
AB를 직각 삼각형으로 둡니다. AB를 밑으로하고 AC를 빗변으로 둡니다. 각도 C를 x로 표시하면 기본 각도 A = (π / 2-x)이므로 A + B + C = π / 2-x + π / 2 + x = π 또는 180 °입니다.
이제 기저 각 A의 경우 BC는 수직입니다.
∴ cos A = cos (π / 2-x) = 기저 / 빗변 = AB / AC ………… .. (3 )
각 C의 경우 AB는 수직이므로
sin C = sin x = 수직 / 비변 = AB / AC ……………. (4)
등식 (3) 및 (4),
cos (π / 2-x) = sin x (증명 됨)
증명 3 :
오일러 공식 사용
eⁱᶿ = cos θ + i sin θ
모든 θ의 실제 값에 대한 기호 eⁱᶿ를 정의합니다. 여기서 i = √-1.
∴ 공식에 θ = (π / 2-x)를 입력하고
e ^ i (π / 2-x) = cos (π / 2-x) + i sin (π / 2-x)
또는 e ^ iπ / 2. e ^ (-ix) = cos (π / 2-x) + i sin (π / 2-x)
이제 e ^ iπ / 2 = cos π / 2 + i sin π / 2 = 0 + i.1 = i 및 e ^ (-ix) = cos x-i sinx
∴i. (cos x-i sin x) = cos (π / 2-x) + i sin (π / 2-x)
또는, i cos x + sin x = cos (π / 2-x) + i sin (π / 2-x) [i² = -1 이후]
실수 부분과 허수 부분을 동일시 함
cos (π / 2-x) = sin x (증명 됨)
and cos x = sin (π / 2-x)
결론 :
주어진 주장을 증명하기 위해 여기에 제시된 세 가지 방법 중 선호되는 방법은 Proof 1이어야합니다. 이는 간단하고 간단하며 빠르기 때문입니다. 평균적인 학생이 약 30 초 안에 정신적으로 할 수 있습니다. Proof 2에는 올바른 수직 인베이스가 어느 것인지에 대해 혼동 할 여지가 있습니다. 게다가 삼각형을 그리고 측면, 각도 등을 표시하는 데 추가 시간을 할애해야합니다. 증명 3은 괜찮습니다. 그러나 복잡한 기능에 익숙하거나 잘하는 사람은 많지 않습니다. 이 방법은 다른 방법보다 더 많은 대수를 수반합니다. 하지만 보너스를줍니다. 즉, 공식 cos x = sin (π / 2-x)을 증명합니다.