최상의 답변
θ = 0 일 때만.
0 사이의 모든 θ에 대해 기하학적으로 분명합니다. 그리고 π / 2, 2sinθ는 반경 1의 원에서 라디안 측정 2θ의 호의 현의 길이입니다. 그리고 현이 호보다 짧기 때문에 그러한 모든 θ에 대해 sinθ <θ를 가져야합니다. 물론 θ> 1이면 sinθ 입니다. 마지막으로, 모든 양의 θ에 대한 sinθ <θ는 모든 음의 θ에 대한 sinθ> θ를 의미합니다.
θ가 각도로 측정 되더라도 sinθ는 θ = 0이 아닌 한 θ와 같을 수 없습니다. 단순히 호의 라디안 측정 값이기 때문입니다. θ 도의 πθ / 180은 θ보다 훨씬 작습니다.
답변
더 나은 질문은 \ cos \ theta equal 2?
\ theta가 평면 기하학에서 삼각형의 각도이면 불가능하다는 것을 알고있을 것입니다. 직각 삼각형의 빗변이 다리의 길이와 인접한 다리는 빗변 길이의 두 배가 될 수 없습니다. 마찬가지로 \ theta가 실수라면 \ cos \ theta =-\ cos (180 ^ \ circ- \ theta) = \ cos (\ theta + 360 ^ \ circ)이기 때문입니다. 따라서 \ theta \ in \ mathbb R이면 -1 \ leqslant \ cos \ theta \ leqslant 1이므로 \ cos \ theta는 2가 될 수 없습니다.
그러나 z \ in \ mathbb C, \ cos z = 2에 가능 합니다. 실제로 코사인의 복잡한 분석 정의는 \ cos z = \ frac {e ^ {iz} + e ^ {-iz}} 2이므로 2 차 방정식으로 끝납니다. .
\ frac {e ^ {iz} + e ^ {-iz}} 2 = 2를 풀고 싶습니다. w = e ^ {iz}를 취하면 \ frac {w + w ^ {-1}} 2 = 2 또는 동등하게 w ^ 2-4w + 1 = 0이됩니다. 그런 다음 2 차 공식을 적용합니다.
w = \ frac {4 \ pm \ sqrt {4 ^ 2-4 \ cdot 1 \ cdot 1}} 2 = \ frac {4 \ pm \ sqrt {12 }} 2 = 2 \ pm \ sqrt 3
w = e ^ {iz} 이후 자연 로그를 가져올 수 있지만 주의 : a ^ 2 = b ^ 2가 a = b를 의미하지 않는 것처럼 (a = \ pm b 만 의미 함), e ^ a = e ^ b는 a = b를 의미하지 않습니다. 일부 k \ in \ mathbb Z에 대해 a = b + 2 \ pi ik를 의미합니다. 따라서
iz = \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi ik, k \ in \ mathbb Z
그런 다음 -i를 곱하여 z의 값을 얻습니다.
z = -i \ ln (2 \ pm \ sqrt 3) +2 \ pi k, k \ in \ mathbb Z
드디어 솔루션을 다시 작성할 수 있습니다. 2- \ sqrt 3 = \ frac 1 {2+ \ sqrt 3}, 따라서 \ ln (2- \ sqrt 3) = -\ ln (2+ \ sqrt 3) :
z = 2 \ pi k \ pm i \ ln (2+ \ sqrt 3), k \ in \ mathbb Z
복잡한 분석 함수로서 \ cos z의 동작은 실제 방향의 삼각 함수와 가상 방향의 쌍곡 코사인을 모방합니다. 사실, \ cos (iz) = \ cosh z 및 \ sin (iz) = i \ sinh z; 이러한 사실을 코사인 합계 공식과 결합하면 \ cos (x + iy) = \ cos x \ cosh yi \ sin x \ sinh y와 x, y \ in \ mathbb R이 수반됩니다. 이것은 다음을 계산하는 다른 방법을 제공합니다. 대답. Philip Lloyd는 이것에 대한 훌륭한 다이어그램을 가지고 있습니다. Philip Lloyd의 대답은 왜 “cos theta가 2와 같지 않습니까?