우수 답변
이미 게시 된 다른 답변을 보면 그 완성도에 전혀 만족하지 않습니다. … 그리고 숙련 된 수학 교사로서 저는 요약되지 않은 대답을 할 의무가 있다고 느낍니다.
당신이 지적한 cos (2x) 공식은 코사인에 대한 세 가지 이중 각도 정체성 중 하나입니다. sin (x / 2)에 대해이 방정식을 풀면 사인의 반각 동일성이됩니다.
* 표시했습니다. 잘 알려지지 않은 삼각법의 규칙 중 하나는 방정식의 양쪽에서 동일한 상수로 모든 삼각 함수 인수를 동등하게 나눌 수 있음을 나타냅니다. 사실 모든 상수를 나눌 수 있습니다. 그러나 이것은 항상 유용하지 않을 수 있습니다. sin (x / 3)에 대해 위의 방정식을 풀고 이것을 사용하여 sin (pi / 12)를 찾으십시오. 멋지게 작동합니다.
이제 실제로 sin (x / 2) 공식을 사용하려면 다음과 같이 동일한 복소수를 사용하여 주어진 방정식을 조작해야합니다.
물론 위의 첫 번째 그림에서이를 보여줍니다. 반각 정체성을 파악 / 유도하는 것 외에도 실제로 적용하는 것이 더 큰 과제입니다.
답변
I. 동등 이라는 문제 해결 접근 방식을 사용하겠습니다.
이 접근 방식을 사용하여 유리한 개체 또는 개체 집합을 선택하고 살펴 봅니다. 우리가 그 과정에서 유익한 관계를 도출 할 수 있기를 바라면서 다른 각도에서…
이러한 개체 또는 개념 중 하나는 정사각형 영역
일 수 있습니다. span>.
우리는 빗변의 길이가 1 인 직각 삼각형으로 시작하여 각도 x를 선택하고 삼각형 변의 길이를 \ cos x로 표시합니다. div id = “cb1a53644b”>
height 및 \ sin x는 삼각형의 base 로 취급하는 데 동의합니다.
그러면 삼각형의 정사각형 면적이 저음의 절반을 곱한 것이 입증 된 사실입니다. e 초과 높이 :
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag {1}
다음 단계 진공 상태에서는 2 \ sin x \ cos x의 반대편에서 무엇이 우리를 기다리고 있는지 정확히 알지 못하기 때문에 매우 어렵습니다. 발견 자의 관점에서 우리는 미지의 심연을 바라보고 있습니다. 그러니 그것을 직감, 행복한 생각 또는 그냥 코라고 부르지 만 우리는 이렇게 추론합니다 :
좋아, 우리는 다른 추상에 구체적인 개념 (사각형 영역)을 붙이는 방법을 찾았습니다. 그것은 다소 신비한 표현이지만-우리가 여전히 거기에서 2의 요소를 작동해야하기 때문에 정확히는 아닙니다.
어떻게 할 수 있습니까?
음, 두 개의 동일한 삼각형을 인접하는 것은 어떻습니까? 함께?
그러면 높이 또는 용어의 \ cos x는 동일하게 유지되지만 용어의 \ sin x라는 두 개의 동일한베이스를 하나로 용접하여 승리합니다.
우리가 당신의 표현을 pedantically 따르고 해석하는지 관찰하십시오.
지금이 동등성 을 사용하여 키를 세울 수 있습니다. 새로운 합성 모양은 여전히 삼각형이고 사각형 영역은 여전히 다음과 같습니다.
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x \ tag {2}
그러나 우리는 같은 모양을 다르게 볼 권리가 있습니다. 길이 1의 변을 밑으로 취급하면 빨간색으로 표시된 수직이 높이입니다. 그러나 상단 꼭지점의 각도는 2x입니다. 따라서 정의에 따른 새 높이는 다음과 같습니다.
1 \ cdot \ sin 2x = \ sin 2x \ tag {3}
따라서 동일한 삼각형의 동일한 정사각형 영역은 다음과 같이 렌더링 됨 :
A \_ {\ triangle} = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag {4}
하지만 ( 2 ) 및 ( 4 )는 동일한 크기를 나타냅니다. 따라서 :
\ dfrac {1} {2} \ cdot (2 \ cdot \ sin x) \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2} \ cdot 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
발견 된 위치 :
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
II. 유사하지만 더 문학적 처리를하려면 위와 동일한 삼각형으로 시작하고 중심이 B에 있고 반경이 BA 인 원 \ sigma를 구성하여 \ sin x 변의 길이를 두 배로 늘립니다.
하지만 이제 AC는 E에서 \ sigma (x 5 ^ {\ circ}만큼)와 Thale의 정리 또는 Euclid의 B3P31 (반원의 각도가 맞음) E의 각도가 오른쪽입니다.
직각 삼각형 ABC와 AED는 공통 각도 \ theta를 공유하므로 \ angle ADE = x이고 \ triangle AED for ED는 다음과 같습니다.
| ED | = | AD | \ cdot \ cos x = 2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x \ tag * {}
그러나 ED에 대한 직각 삼각형 CED에서 우리는 다음을 얻습니다 :
| ED | = 1 \ cdot \ sin 2x \ tag * {}
따라서 :
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ sin 2x \ tag * {}
(두 조각 사이의 간격을 연결하기 위해 선분의 길이를 사용했기 때문에 더 얇아 졌다고 생각할 수 있습니다.)
III. 이 버전이 너무 발전된 것 같지만 어쨌든 두 가지 이유로 보여 드리겠습니다. 한 가지 이유는 수학에서 동일한 결과를 얻는 여러 가지 방법이있을뿐만 아니라 이러한 방법 중 일부가 놀랍게 보일 수 있음을 입증하는 것입니다. 또 다른 이유는 배우고 싶은 것이 있다는 것입니다.
수학 교육의 어느 시점에서 복잡한 숫자 <라는 객체를 만날 수 있습니다. / a>. 이 숫자로 우리의 두 삼각 함수는 다음과 같이 기록 될 수 있습니다 (위대한 스위스 수학자 Leonard Euler (1707–1783) 덕분에) :
\ sin x = \ dfrac {e ^ {ix} -e ^ {-ix}} {2i} \ tag {5}
\ cos x = \ dfrac {e ^ {ix} + e ^ {-ix}} {2} \ tag * {}
여기서 e는 Euler s Number 이고 i는 i ^ 2 = -1이라는 독특한 속성을 가지고 있지만 잠시 동안이 모든 것을 무시하고 무뚝뚝하게 중학교 대수의 규칙에 따라 위의 두 분수를 곱합니다.
2 \ cdot \ sin x \ cdot \ cos x = \ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x} + 1-1-e ^ {-i2x} \ Big) = \ tag * {}
\ dfrac {1} {2i} \ Big (e ^ {i2x}-e ^ {-i2x} \ Big) = \ sin 2x \ tag * {}
( 5 )에 따름.