최상의 답변
다음은 대략적인 해결책을 찾는 방법입니다.
x의 값은 \ sin {x} 범위를 벗어난 간격 x ^ 2> 1 밖에있는 간격 [-1,1] 내에 있어야합니다. -1 \ le x , \ sin {x} <0 반면 x ^ 2> 0 일 때와 같이 간격 [0,1]으로 더 제한 될 수 있습니다. 구간 [0,1] 내에 x = 0에 대한 사소한 솔루션이 있습니다.
x = \ frac {\ pi} {6}의 경우 \ sin {x} = \ frac {1} {2 } 반면 x ^ 2 <\ frac {1} {2}. 훨씬 더 큰 x의 경우 분명히 x ^ 2> \ sin {x}가 있으므로 구간 (0,1]에 적어도 하나의 해가 있어야합니다. 또한이 구간에서 \ sin {x}는 음의 2 차 도함수를가집니다. x ^ 2는 양의 2 차 도함수를 가지므로 구간 (0,1]에 최대 하나의 해가 있습니다. x ^ 2의 곡선이 \ sin {x}의 곡선을 추월하면 다시 교차 할 수 없습니다.
따라서 (0,1]에는 정확히 하나의 해가 있습니다.이 해를 추정하려면 x- \ frac {x ^ 3} {6} =를 얻기 위해 사인 함수에 대한 Taylor 급수의 처음 두 항을 사용합니다. x ^ 2. 근사 솔루션 인 x ^ 2 + 6x-6 = 0 또는 x = \ sqrt {15} -3으로 줄어 듭니다. 소수점 6 자리까지 \ sqrt {15} -3 \ approx 0.872983.
비교하면 수치 근사는 x = 0.876726과 같이 소수점 6 자리까지의 해를 제공합니다. 따라서 Taylor 급수의 두 항만 사용한 근사치는 매우 비슷했지만 완벽하지는 않았습니다.
답변
이런 질문의 경우 일반적으로 함수가 어떻게 작동하는지 파악하기 위해 함수를 그래프로 표시하는 것이 좋습니다. 실수로 답을 원하신다면
양변에 2x를 더한 다음 2로 나누어 x = 1.3 \ sin (x)를 얻을 수 있습니다. 사인 함수는 -1과 1 사이에 제한되어 있으므로 -1.3과 1.3 사이의 x 값만 고려하면됩니다. 그래프 y = x는 직선 일뿐입니다. 그래프 y = 1.3 \ sin (x)는 1.3이 직각보다 작고 사인이-\ pi / 2에서 \ pi / 2로 증가하기 때문에 -1.3과 1.3 사이에서 위쪽으로 기울어집니다.
미적분학을 알고 있다면 1.3 \ sin (x)가 증가하는 비율은 1.3 \ cos (x)로 주어집니다. 이 변화율은 증가한 다음 다시 감소합니다 (변곡점이라고 함). y = 1.3 \ sin (x)의 그래프는 -1.3에서 0까지 오목한 다음 0에서 1.3까지 오목합니다. x = 0이 해결책이라는 것을 비교적 쉽게 알 수 있습니다. y = 1.3 \ sin (x)의 기울기는 해당 지점에서 y = x의 기울기보다 크므로 아래에서 위로 교차합니다. 이제이 시점에서 1.3 \ sin (1.3)의 값을 알아 내야한다고 결정했습니다. 물론 사인 함수는 라디안으로 주어진 각도에 적용됩니다. 1.3 미만입니다.
이 시점에서 상황의 성격을 추론 할 수 있습니다. 두 함수는 -1.3에서 1.3까지 세 번 서로 교차합니다. 긍정적 인 해결책을 부르십시오 c. 대칭성 (1.3 \ sin (-c) =-1.3 \ sin (c) = 2 (-c)) 때문에 음의 해는 -c입니다. 1.3 \ sin (x)의 오목 함은 다른 솔루션이되지 않도록합니다. 그래서 남은 것은 c가 무엇인지 알아내는 것입니다.
일부 학생들이 이상하다고 생각하는 것은 종종 이와 같은 방정식의 해를위한“닫힌 형태”가 없다는 것입니다. 0에서 1.3 사이의 해가 있다고 말할 수 있지만이 경우에는 익숙한 함수에 대한 공식이 없다고 생각합니다. 따라서 문제를 해결하려면 이에 대해 알아야 할 사항을 결정해야합니다.
정확하게 계산하려면 몇 가지 방법이 있습니다. 이 경우 작동하는 순진한 접근 방식이 있습니다. 0에서 1.3 사이의 x 값을 취하면 해보다 작 으면 1.3 \ sin (x)가 더 크고 해보다 크면 1.3 \ sin (x)가 더 작습니다. 따라서 x의 값을 1.3 \ sin (x)로 계속 바꾸면 루트에 접근합니다. x = 1.0으로 시작한다고합시다. 그런 다음 1.3 \ sin (1) = 1.9039 … 그러므로 x next 값으로 사용하십시오. 이 프로세스는 솔루션에 수렴되지만 각 단계는 값을 솔루션에 약간 더 가깝게 가져 오기 때문에 그리 빠르지는 않습니다.
두 번째 방법은 간격을 세분화하는 것입니다. 따라서 1.3 \ sin (1.1) 및 1.3 \ sin (1.2)를 평가하여 솔루션의 첫 번째 소수를 얻을 수 있습니다. 1.3 \ sin (1.1) <1.1이고 1.3 \ sin (1.2)> 1.2이기 때문에 루트는 1.1과 1.2 사이 인 것 같습니다. 그런 다음 1.3 \ sin (1.15)를 시도하여 해가 1.15보다 작거나 큰지 확인할 수 있습니다. 이 방법은 첫 번째 방법이 그렇지 않은 일부 상황에서 잘 작동하지만 그렇게 빠르게 수렴하지 않습니다.
다른 방법이 있습니다 ( 루트- 알고리즘 찾기-Wikipedia ) 특히 시컨트 방법과 뉴턴의 방법. 그들은 더 빨리 수렴합니다.
시컨트 방법은 양쪽에 두 개의 근사값 (예 : 1.1과 1.2)을 유지합니다. 그런 다음 대략적인 솔루션을 얻기 위해 그래프가 모두 직선 인 척합니다. 계산이 그렇게 간단하지는 않지만 실제로는 관련이 없습니다.
뉴턴의 반복은 곡선에 접선을 그려 두 곡선이 교차하는 위치를 근사한 다음 반복합니다. 루트에 충분히 가까운 값으로 시작하면 일반적으로 합리적으로 빠르게 수렴됩니다.정확도의 자릿수는 일반적으로 각 단계마다 두 배가됩니다 (누구도 많은 자릿수의 정확도를 근본으로 원하는 것 같지는 않지만).