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게시 된 표현 질문이 정확하지 않습니다.
이항 정리
(x + y) ^ {n} = \ sum\_ {k = 0} ^ {n} C (n, k) x ^ {nk} y {k}
모든 복소수 x 및 y 및 음이 아닌 정수 n .
Let x = 1 and y = -1. 그런 다음 오른쪽에 원하는 교대 차이와 조합의 합계가 표시됩니다 ( 선택 이라고 함). 왼쪽에는 0 ^ n이 있으며, 이는 분명히 0으로 가정합니다. 그러나 위에서 언급 한 이항 정리는 모든 음이 아닌 정수에 적용됩니다. 0을 포함하는 n .이 경우 왼쪽은 0 ^ 0 = 1 (허용하지 않은 경우)입니다.
나를 믿지 않는다면,이 간단한 연습을 시도해보십시오 : 파스칼 삼각형의 처음 몇 줄을 작성하십시오. 게시 된 질문의 “선택”공식은 행을 선택하는 것과 동일하며 맨 왼쪽 요소 (선택한 행에 관계없이 항상 1 임)에서 시작하여 오른쪽에있는 다음 요소를 빼고 계속해서 더하기와 빼기를 반복합니다. 해당 행의 모든 요소. 1 1을 포함하는 행과 1 2 1을 포함하는 행과 1 3 3 1을 포함하는 행에서 모두이 프로세스에서 0을 산출합니다. 하지만 1 개만 포함 된 맨 위 행에서는 어떻게됩니까? 우리는 그 1로 시작하여 다음 요소를 뺄 준비를합니다. 그러나 다음 요소가 없으므로 0이 아닌 1의 결과로 이미 완료되었습니다. 개념에서 맨 위 행을 제외 할 필요가 없습니다. 그리고 합계는 모든 행에 대해 0 ^ n을 산출합니다.
0 ^ 0 = 1과 관련하여 끊김이있는 사람 중 한 명이라면 적어도 컨텍스트에서 그 끊김을 극복해야합니다. 정수 지수의. 0 ^ 0을 정의되지 않은 것으로 간주하면 (0 + y) ^ {n} 및 (x + 0) ^ {을 평가하는 데 이항 정리를 사용할 수 없기 때문에 이항 정리와 위의 증명을 버릴 수 있습니다. n}, n 의 값에 관계없이 전자의 제곱에 대한 이항 확장의 마지막 항과 후자의 이항 확장의 첫 번째 항 둘 다 0 ^ 0을 포함하므로이 합계를 정의되지 않은 것으로 호출하고 이항 정리가 x =에 적용되지 않는다는 완전히 불필요하고 어리석은 배제를 추가해야합니다. 0 및 y = 0의 경우. 또한 요소가없는 곱이 곱셈 식별 요소 여야 함을 나타내는 빈 곱 규칙을 위반하게됩니다. , 1. 관계 0! = 1은 이항 정리뿐만 아니라 다른 많은 장소에서도 중요하지만 0! 하나는 1에서 시작하는 인수를 곱하지 않으므로 빈 제품이며 궁극적으로 0! = 1임을 알려주는 것은 빈 제품 규칙입니다. 동일한 빈 제품 규칙은 모든 복소수 x , x 의 값은 빈 제품 규칙과 관련이 없으므로 예, x = 0은 x 의 다른 모든 값과 마찬가지로 적용됩니다. 어떤 식 으로든 정당화되는 예외 사례는 없습니다.
있습니다. 적어도 정수 지수의 맥락에서 0 ^ 0 = 1에 관한 많은 다른 이유 : ∑ 표기법을 사용하는 다항식 및 멱급수의 공식적인 정의와 이러한 다항식 및 멱급수의 조작, 다양한 조합 문제 등. 0 ^ 0이 1이 아닌 다른 값을 가지고 있거나 적어도 정수 지수의 맥락에서 정의되지 않은 것으로 간주하는 것에 대한 합리적인 근거는 없습니다.
여러분 중 일부는 약간 고민하고있을 수 있습니다. 내가 쓴 것은 당신이 배운 모든 것을 위반하기 때문입니다. 아마도 너무 고통스러워서 내가 쓴 것의 가능한 타당성에 대해 생각조차 어렵고, 당신은 내가 어디에서 틀렸는 지 알려주기 위해 답글을 쓰려고합니다. 잘못된 댓글로 어리석게 보이지 않게하기 위해 계속해서 제가 예상하는 내용에 대해 설명하겠습니다.
- “제 교과서와 선생님은 0 ^ 0이 정의되지 않았다고 말했습니다. 틀리지 마세요.” 선생님과 교과서에 대해 말하고 거품을 터뜨리는 것이 싫지만 중등 학교 수학 (및 기타 과목) 교과서에는 잘못 될 정도로 지나치게 단순화 된 주제가 많이 있습니다. 여기에서 제가 언급 한 내용은 중등 학교 수학 교사를 무시하려는 의도가 아닙니다. 그들은 도전적인 과제를 가지고 있으며, 대부분은 정말 훌륭한 일을하고 학생들의 발전을 돕고 싶어합니다.대부분의 중등 학교 수학 교사는 대학에서 수학을 전공하지 않았으며, 대부분은 수학 전문 교육을 전공했습니다. 학생들이 어떻게 생각하는지, 다양한 방법으로 다양한 요점을 설명하는 방법, 학생들이 재료로 가지고있는 문제를 찾고 진단하는 방법, 수학과 직접적으로 관련이없는 기타 매우 가치있는 것들을 배웁니다. 그들은 연습을 위해 실제 교사의지도 아래 실제 교실뿐만 아니라 모의 교실에서 시간을 보냅니다. 그들은 가르 칠 것으로 예상되는 수학, 즉 중등 학교 수준에서 많은 심층적 인 검토를받습니다. 그들은 프로그램에서 대학 수준의 수학 과정을 몇 개 듣지만 수학 전공이 수강하는 것만 큼 많거나 진보 된 곳은 없습니다. 수학 전공자들은 그 어떤 것도하지 않지만, 더 진보 된 과정에서는 실제적이고 전문적인 수학자들이하는 일에 더 많이 노출되고 대부분의 수학 교사들은 그러한 노출을 얻지 못합니다. 그들은 수학자가 실제로 자연수와 같은 것을 어떻게 정의하는지 깨닫지 못합니다. 정수, 각도 측정을 위해 각도 대신 라디안을 사용하는 수학자에 대한 제한적 노출 (각도에 대한 단위 기호가 없다는 것은 각도가 아니라 라디안을 의미 함), 전문 수학자가 적절한 연산 순서로 간주하는 것에 담그지 않음 (그리고 , 그것은 PEMDAS, BODMAS,…) 등이 아닙니다. 당신의 수학 교사는 책이 가르치는 것을 가르치고 있으며 전문 수학자가하는 것과 반대되는 것을 가르치고 있다는 것을 인식하지 못합니다.
- 지수의 나눗셈 법칙 : 0 ^ 0 = 0 ^ {nn} = 0 ^ n / 0 ^ n = 0/0, 이는 정의되지 않았으므로 0 ^ 0은 동일하므로 정의되지 않아야합니다. 두 번째 =에서 잘못된 단계가 수행되었습니다. 지수의 나눗셈 법칙 중 하나는 b ^ {m-n} = b ^ m / b ^ n이지만 사용하기 위해서는 몇 가지 제한이 있습니다. 그 중 하나는 법의 적용이 0의 역수 또는 0으로 나누는 표현을 생성해서는 안된다는 것입니다. 따라서이 법칙을 사용하는 것은 b 일 때 금지됩니다. = 0, 그것은 말도 안되는 소리를 생성하기 때문입니다. 이것이 당신의 요점을“증명”하기 위해 사용하고 싶은 말도 안되는 것입니다. 미안하지만 요점을 증명하기 위해 너무 말도 안 돼서 유효하지 않은 것을 사용할 수는 없습니다. 잘못된 단계는 실패한 증명을 구성합니다. 또한 a = b = < c 가 정의되지 않은 / div> c 는 유효하지 않습니다. a 및 b 는 유효하거나 유효하지 않을 수 있습니다. 변 중 하나 이상이 정의되지 않았거나 유효하지 않은 경우 방정식을 사용해서는 안됩니다. 양쪽이 정의되지 않았기 때문에 1/0 = 1/0이라고 결론을 내리는 것도 금지되어 있습니다. 따라서 양쪽이 동일하다고 말할 수 없습니다.이 두 가지가 무엇인지 전혀 알지 못하는 경우 어떻게 두 가지가 동일하다는 것을 알 수 있습니까? 의미 (그리고 정의가 없기 때문에 당신은 어떤 아이디어도 가질 수 없습니다).
- “0 ^ 0은 불확실한 형태이므로 가치를 가질 수 없습니다. 제 미적분학 교과서는 그렇게 말합니다.” 불확정 한 형태의 개념은 의도 한 맥락을 유지하는 한 매우 현실적이고 유용합니다. 불확정 형식은 제한의 컨텍스트에서만 적용됩니다. 즉, 해당 형식을보고 제한이 있는지 여부와 제한 값이 있는지 확인할 수 없습니다. 0 ^ 0 쓰기는 f (x, y) = x ^ y at (x, y) = (0, 0) —의 값을 나타냅니다. x 및 y 가 독립적으로 0에 접근하기 때문에 제한이 없습니다. 한계가있을 수 있지만 함수가 정의되어 있지 않습니다. 함수가 정의되어 있지만 한계가 없습니다. 두 개념은 둘 중 하나 또는 둘 다 (값 정의 및 제한 값)가 실패하는 경우를 제외하고는 서로 관련이 없습니다. 함수는 해당 지점에서 연속적이지 않습니다. 한계가 0 ^ 0의 형태를 취하고 있다고 말하는 것은 그 정보만으로 한계가 존재하는지 그리고 그 값이 무엇인지 알 수 없다는 것을 의미합니다. 그 사실은 0 ^ 0 = 1인지 또는 정의되지 않았는지와는 관련이 없습니다. 0 ^ 0 = 1이라고 말하는 것은 0 ^ 0 형식을 취하는 한계가 값 1을 가져야한다는 의미가 아닙니다.
- 0 ^ y = 0 (모든 양수 x 의 경우> y 및 x ^ 0 = 1입니다. (이 인수를 사용하는 많은 사람들은 y 가 음수가 아니어야한다는 사실을 잊어 버리고 두 경우를 대칭으로 취급합니다.) x 및 y , 한 경우 0 ^ 0 = 0이고 다른 경우 0 ^ 0 = 1-모순 이므로 정의 할 수 없습니다. 음 .. 어디 한번 보자. 제곱이 9 : +3과 -3 인 두 개의 숫자가 있습니다. 따라서 9의 제곱근은 +3이지만 9의 제곱근은 -3입니다. 오, 우리는 모순이 있으므로 9의 제곱근과 같은 것이 없어야합니다. 정의되지 않아야합니다.아니요, +3은 −3보다 더 유용한 답이므로 √9 = 3을 정의합니다. 0이 아닌 모든 실수에 대해 x ^ 0 = 1이라는 사실 x 뿐만 아니라 0이 아닌 모든 복잡한 x 및 0이 아닌 모든 쿼터니언 x 에도 적용됩니다. 반면에 0 ^ y는 양의 실수 x 에 대해서만 직관적 인 방식으로 작동합니다. 음의 실수가 아니라 가상의 실수가 아니므로 더 이상 의미가 없습니다. 셀 수없는 수의 구멍이있는 옵션을 진지하게 고려하는 대신 구멍이 하나 뿐인 정의를 사용 하시겠습니까 ? 1의 결과는 0 ^ 0에 대해 0보다 훨씬 더 유용합니다. 선호에 대한 이유가 훨씬 적을 때 9의 제곱근을 +3이라고 부르고 싶다면, 선호에 대한 매우 강한 이유가있을 때 0 ^ 0 = 1이라고 부르는 것이 얼마나 더 많을까요? 빈 제품 규칙은 0이 아닌 1을 선택하도록 요구합니다. 많은 실제 응용 프로그램에서는 1이 매우 유용한 결과 인 반면 0 또는 정의되지 않은 경우 문제가되는 결과를 찾습니다. 유용한 결과가 0 인 의미있는 응용 프로그램이 없으므로 1을 선택합니다.
Answer
\ text {As per the binomial theorem}
(a + x) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} a ^ {n-m} x ^ m
\ text {a = 1 및 x를-1로 대체}
(1-1) ^ n = \ displaystyle \ sum\_ {m = 0} ^ {n} \ displaystyle \ binom {n} {m} ( -1) ^ m
\ implies 0 = \ displaystyle \ binom {n} {0}-\ displaystyle \ binom {n} {1} + \ displaystyle \ binom {n} {2}-\ displaystyle \ binom {n} {3} + \ cdots + \ displaystyle \ binom {n} {n} (-1) ^ n
\ text {QED}