정답
수학에서 공간에 대한 일반적인 정의는 없습니다. 시각적으로 생각할 수있는 거의 모든 물체를 공간이라고 부를 수 있습니다. 미터법 공간, 다양체, 힐베르트 공간, 오비 폴드, 계획, 측정 공간, 확률 공간 및 모듈러스 스택은 모두 공간이라고 부르는 것입니다.
공간의 일반적인 정의에 가장 가까운 것은 확률입니다. 위상 공간. 예를 들어 메트릭 공간, 매니 폴드, 힐베르트 공간, 오바이 폴드 및 체계는 모두 약간 더 구조가 더 많은 토폴로지 공간입니다.
위상 공간은 점 집합, X 및 하위 집합 모음으로 구성됩니다. 우리가 “개방”이라고 부르는 X의 경우
- 빈 집합과 X 자체가 열려 있고
- 개방 집합의 모든 합집합이 열려 있습니다.
- li>
- 그리고 한 쌍의 열린 집합의 교차점이 열려 있습니다.
열린 집합은 \ mathbb {R}의 열린 하위 집합과 같아야합니다. 모호해질 위험이 있으므로, 우리는 U의 모든 지점이 U를 떠나지 않고 조금 움직일 수 있도록 열린 집합을 X의 하위 집합 U로 생각합니다. 이것은 문자 그대로 \ mathbb {R}의 경우입니다. 오픈 세트는 서브셋 U로 정의되어 모든 x \ in U에 대해 \ epsilon> 0이 있으므로 (x-\ epsilon, x + \ epsilon) \ subset U (즉, \ epsilon보다 작게 x 이동 이 최소한의 정보 (점 집합 및 열린 하위 집합 모음)는 함수가 연속적인지 여부를 알려주기에 충분합니다. 이것은 토폴로지 공간을 정말 유용하게 만듭니다.
다른 한편으로, 수학의 모든 공간이 토폴로지 공간이 아니거나 다른 사람들이 대답했듯이 추가 구조를 가진 점 집합이 아닙니다. 이것은 몇 학기 전에 배워서 깜짝 놀랐습니다.
제가 염두에 둔 반례는 모듈 리 스택의 아이디어입니다. 이것은 (이상해집니다!) 특정 종류의 펑터 F : \ mathcal {C} \ to \ mathcal {D}, 여기서 \ mathcal {D}의 각 객체 D의 사전 이미지는 연속 함수 모음으로 간주됩니다. D에서 F가 나타내야하는 공간으로.
이게 어떻게 공간일까요? 직관을 얻기 위해 단일 점으로 구성된 공간에서 토폴로지 공간 X 로의 연속 함수 세트를 고려하십시오. 각 점 p \ in X에 대해 단일 점을 p로 취하는 함수를 얻습니다. 이런 의미에서 점에서 X까지의 연속 함수 세트는 X의 점을 설명합니다. 선분과 같은 더 멋진 것의 함수를 X로 고려하면 X 점이 어떻게 관련되어 있는지에 대한 아이디어를 얻습니다. 서로-경로로 서로 연결될 수있는 것, 가까이있는 것, 서로 멀리 떨어져있는 것 등. 가능한 모든 함수 세트를 X로 고려함으로써 실제로 X가 무엇인지 정확하게 추론 할 수 있습니다. 이것은 Yoneda Lemma 의 이름으로 진행되는 아이디어입니다. 모듈 리 스택의 아이디어는 이것을 은유로 사용하는 것입니다. 토폴로지 공간에서 기능을 설명하는 “유사한”펑 터는 “공간”을 정의하는 데 사용할 수 있습니다.
내가 강조하고 싶은 것은 수학에는 많은 종류의 공간이 있지만 공간이 무엇인지에 대한 기초적인 아이디어를 얻으려면 위상 공간을 공부해야합니다. 하지만 상황이 이상해집니다!
Answer
Space 자체에는 공식적인 정의가 많지 않습니다. “사물”이라는 단어의 거의 수학적 버전입니다. 더 가까운 동의어는 “세트”일 수 있지만 “공백”이라는 단어는 추가 요소가 있음을 의미합니다. 일부 구조 … 그것도 작용합니다. 그렇지 않으면 “set”이라는 단어를 사용합니다.
다양한 종류의 공간 에는 정의가 있습니다. 벡터 공간은
집합 . 토폴로지 공간은 특수 하위 집합 모음과 함께 집합 입니다. 몇 가지 규칙을 충족합니다. 메트릭 공간은 세트의 포인트 사이의 거리를 알려주는 적절한 공식과 함께 세트 입니다. 특수한 유형의 공백은 종종 이와 같은 설명 적 이름.
다른 유형의 공간은 연구 한 사람들의 이름을 따서 명명됩니다. Banach 공간, Hilbert 공간, Sobolev 공간 … 이들은 모두 약간의 추가 구조가있는 특수한 유형의 벡터 공간입니다. 그것은 그들 자신의 방식으로 그들을 흥미롭게 만들고 그 이야기를 발전시키는 데 중요한 사람들의 이름을 따서 명명되었습니다.