최상의 답변
예를 들어 설명하겠습니다. 그림은 그림과 같이로드되고지지되는 트러스를 보여줍니다. 우리의 관심은 트러스의 모든 부재에서 반응과 힘을 찾는 것입니다. 부재의 반응과 힘은 적용된 힘의 크기와 방향뿐만 아니라 위치, 즉 적용 지점에 따라 달라집니다. 공간 다이어그램은 힘의 적용 지점과 트러스의 형상을 처리합니다.
위에 표시된 그림은 반응을 얻기 위해서만. 벡터 다이어그램에서 적용된 힘 P\_1은 ab이고 힘 P\_2는 bc입니다. 벡터 다이어그램에서 반응 R\_1은 da와 같고 반응 R\_2는 cd와 같습니다.
공간 다이어그램과 벡터 다이어그램을 더 진행하여 모든 구성원의 힘을 계산할 수 있습니다. 이해하기 쉽게 그림을 유지하기 위해 여기에서 수행 한 것이 아닙니다.
벡터 다이어그램과 케이블 폴리곤이 닫힐 때 평형 상태가 충족됩니다.
답변
그것은 여기서 “위치”가 무엇을 의미하는지 완전히 명확하지는 않지만 벡터에는 위치가 없지만 벡터 공간에는 위치가있을 수 있으며이 두 가지 아이디어가 응용 프로그램을 포함한다는 대답이있을 수 있습니다.
I m 여기서 질문에서 “위치”의 부족은 동일한 길이와 방향의 평행 한 “화살표”가 동일한 벡터를 나타낸다는 사실을 의미한다고 가정합니다. 이 규칙을 도입하는 데에는 여러 가지 이유가 있습니다.
- 기본 벡터 사용의 기본 아이디어 중 하나는 변위 의 개념입니다. 이는 속도, 가속도 및 (F = ma를 통해) 힘의 원천이기도합니다. 변위에는 위치가 없지만 모든 위치에서 지정된 방향과 크기의 잠재적 변위가 있습니다. “북서쪽으로 10 마일 앞”이라고 말하면 특정 위치에만 적용되는 것이 아니라 모든 곳에 적용되는 변위 지시입니다.
- 변위는 결합 될 수 있지만 첫 번째 변위가 끝나는 곳에서 두 번째 변위가 시작되는 경우에만 가능합니다. . 변위가 화살표로 표시되는 경우 결합 된 변위를 얻으려면 결합 된 변위에 대한 꼬리-머리 구성을 얻기 위해 화살표 중 하나를 변환해야합니다. 물론, 변환 된 화살표가 동일한 변위를 계속 나타내지 않는다면 이것은 의미가 없습니다.
- 힘의 동작을 경험하려면 힘 측면에서 개체는 모든 질량이 무게 중심에 집중되고 모든 힘이 해당 지점에 작용하는 것처럼 작동합니다. (토크가 도입되면 다른 일이 발생하므로 여기서는 이탤릭체로 된 언어에주의를 기울였습니다!)
이러한 모든 상황을 다루는 수학적 추상화는 벡터 공간입니다. 어디에나 위치 할 수있는 화살표가 필요한 경우 화살표 세트에 등가 관계를 적용하여 두 화살표가 평행하고 방향이 같으면 등가를 만듭니다. ( 동일한 방향에는 체계적으로 만들기가 약간 까다로운 직관적 인 콘텐츠가 있습니다.) 벡터 는 가됩니다. 등가 클래스의 화살표, 및 벡터 추가는 “편리한”클래스 대표를 가져와 꼬리 대 머리 또는 평행 사변형 법칙을 통해 추가함으로써 정의됩니다.
등가 클래스 사용 그리고 그들의 대표자들은 전혀 특이 해 보이지 않아야합니다. 정확히 우리가 분수로하는 일입니다. “분수”는 등가 관계 a / b \ equiv (na) / (nb) 하에서 기호 a / b (b \ ne 0)의 등가 클래스로 간주 될 수 있습니다. 두 개의 “분수”를 추가하려는 경우 동일한 분모를 가진 두 개의 대표자를 찾을 때까지 각각의 등가 클래스에 대해 루팅 한 다음 분자를 추가합니다. 벡터 추가는 이것과 매우 유사합니다. 더욱이, 분수에는“선호”클래스 대표자,“최저 조건”의 분수가 있습니다. 벡터의 경우, 꼬리가 원점에있는 벡터 인 “선호”클래스가 있으며, 화살표 비유가 작용할 때 벡터 공간의 추상 요소로 간주됩니다.
이제 화살표의 위치가 정말 중요한 상황이 있습니다. 화살표를 이동하는 것이 의미가없고 다른 지점에있는 화살표를 추가 할 수없고 추가해서는 안됩니다. 다양한 위치의 풍속을 나타내는 화살표가있는 날씨지도가 그러한 예입니다. 앞서 언급 한 토크도 한 예입니다. 무게 중심을 기준으로 한 힘의 위치가 중요하며 결과 토크를 변경하지 않고는 힘 화살표를 다른 점으로 변환 할 수 없습니다. (참고로, 토크 자체는 추가 할 수있는 벡터입니다.) 일반적인 수학적 예의 경우 스칼라 필드의 그래디언트 필드는 특정 위치에 고정되고 임의로 변환 할 수없는 화살표로 구성됩니다.
이러한 위치 종속 벡터에 대한 기본 관찰은 일반적인 벡터입니다. 공간 법칙 (더하기 및 스칼라 곱하기) 한 고정 위치에서 모든 벡터를 계속 유지합니다 . 이것은 위치 의존적 인 수수께끼에 대한 “해결책”이 해당 공간의 모든 지점에 전체 벡터 공간을 배치하는 것임을 알려줍니다. 결과 공간은 다음과 같습니다. 일반적으로 접선 공간 이라고합니다. 한 지점의 접선 공간은 해당 지점을 통과하는 매개 변수화 된 경로에 대한 모든 속도 벡터의 집합으로 간주 될 수 있기 때문입니다. 설명).
모든 접선 공간 모음을 접선 bundle, 그리고 이제 공간의 각 지점에 위치 의존적 벡터가 필요한 경우 공간에서 각 접선 공간에서 정확히 하나의 벡터를 선택하는 접선 번들로의 맵이 필요합니다. 뚜렷한 점; 이러한지도를 번들의 섹션 이라고하며 위치 종속 벡터의 결과 모음을 벡터 필드 를 원래 공간에 배치합니다.
이렇게하면 케이크도 먹고 먹게됩니다. 벡터에는 “위치”가 없지만 벡터 공간에는 있습니다.