최상의 답변
대부분의 시퀀스는 n- 번째 용어 : a\_n = f (n) 여기서 f는 산술 연산, 거듭 제곱, 근, 지수, 로그 및 때로는 다른 함수로 구성된 함수입니다. 문제는 n 이 무한대에 가까워지면 어떻게되는지입니다. \ lim\_ {n \ to \ infty} f (n)은 유한 한 수입니까? 즉, 시퀀스가 수렴합니까, 아니면 다른 일이 발생합니까? \ infty 또는-\ infty로 발산합니까, 두 개의 다른 숫자 사이에서 진동합니까, 아니면 모든 혼돈이 풀리나요?
“확실성에 관심이 없지만 그 답에 만족하는 경우” 대부분의 상황에서 옳을 것입니다. a\_ {1000} 또는 시퀀스의 다른 곳에서 계산할 수 있습니다. 만나는 대부분의 시퀀스에 대해서는 질문에 대한 답을 얻을 수 있습니다.
하지만 그것은 당신의 질문이 아닙니다. 시퀀스가 수렴하는지 여부를 정말로 알고 싶습니다. 확실성을 원하고 가능하면 수렴하는 숫자를 알 수 있습니다. 안타깝게도 양식 시퀀스는 제한이 없습니다. 최선의 방법은 대부분의 경우를 처리하는 몇 가지 원칙을 갖는 것입니다. 다음은 몇 가지 원칙입니다.
- 합리적 함수 , a\_n = \ frac {4n ^ 3 + 3n ^ 2-5} {3n ^ 3-6n과 같은 다항식의 몫입니다. +8}. 분자와 분모를 n의 가장 높은 거듭 제곱으로 나누면 어떤 일이 벌어 질지 알 수 있습니다. 모든 것을 정리로 요약 할 수 있습니다. 분자의 차수가 다음과 같으면 분모의 차수는 선행 계수의 비율 (예 : 4/3)로 수렴됩니다. 분모가 차수가 더 높으면 수열은 0으로 수렴합니다. 분모가 최고인 경우 r도이면 선행 계수의 부호가 같으면 \ infty로, 부호가 다른 경우-\ infty로 시퀀스가 발산합니다.
- 상수 a\_n = \ frac {4 \ sqrt n +6} {\ sqrt {n ^ 2 + 3}}와 같은 근을 포함하는 대수 함수의 . 분자와 분모를 n의 분수 거듭 제곱으로 나눕니다. 이 예에서는 \ sqrt n이 가능합니다.
- 작곡 (예 : a\_n = \ sin \ frac {n) ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6}. 외부 함수 인 사인은 연속 함수이며 연속 함수는 한계를 유지합니다. 이 경우에는 \ frac {n ^ 2-5} {3n ^ 3 + 6} \ to0이 있으므로 원래 시퀀스는 \ sin0 = 0에 접근합니다. 그러나 대신 a\_n = \ sin \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5}를 고려하십시오. 여기에 \ frac {3n ^ 3 + 6} {n ^ 2-5} \ to \ infty가 있고 \ sin x는 x \ to \ infty로 -1과 1 사이에서 진동하므로이 시퀀스에는 제한이 없습니다.
- 상대적 성장 순서 . 자주 “a\_n = \ frac {f (n)} {g (n)}를 갖게됩니다. 여기서 f (n) \ to \ infty와 g (n) \ to \ infty가 모두 있습니다. 몫에 어떤 일이 발생하는지는 분자 또는 분모가 더 빠르게 성장하고 있습니다. “\ prec 기호를 사용하여 하나가 다른 것보다 훨씬 느리게 성장함을 나타냅니다. 즉, f \ prec g는 \ lim\_ {n \ to \ infty} \ frac {f (n)}을 의미합니다. {g (n)} = 0. 이 중 몇 가지를 아는 것이 유용합니다. 예를 들어 n \ prec n ^ 2 \ prec n ^ 3 \ prec \ cdots. 모두 다항식의 예이지만 몇 가지 다른 함수를 알고 있어야합니다. log n \ prec \ sqrt [3] n \ prec \ sqrt n \ prec n \ prec n ^ 2 \ prec 2 ^ n \ prec e ^ n \ prec 3 ^ n \ prec n! \ prec n ^ n
- L “Hôpital”의 규칙 . 시퀀스가 이산 적이지만 연속 제한이 수렴하거나 플러스 또는 마이너스 무한대로 발산하는 경우 예를 들어 “a\_n = \ frac {n \ log n} {n ^ 2-n}이 있고 위에서 언급 한 주문을 사용하지 않은 경우 L”Hôpital “을 사용할 수 있습니다. s 규칙. \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {x \ log x} {x ^ 2-x}, 분자와 분모가 모두 무한대에 가까워 지므로 그 제한은 다음과 같습니다. 분자와 분모를 미분, \ lim\_ {x \ to \ infty} \ frac {1+ \ log x} {2x}로 대체하는 위치를 제한합니다. \ infty / \ infty 형식, L “Hôpital”의 규칙 ag를 사용할 수 있습니다. ain.
- e ^ x에 대한 특별 제한. 때때로 이것은 지수 함수의 정의로 사용됩니다. 알아두면 가치가 있으며 유용한 시퀀스로 자주 등장합니다. (1 + x / n) ^ n \ to e ^ x
더 많은 기술이 있다고 확신합니다. 대수 사용을 단순화하는 것을 잊지 마십시오.
답변
시퀀스 수렴을 테스트하기위한 테스트가 거의 없습니다.
1. 시퀀스 a\_n 및 f (n) = a\_n 및 \ lim\_ {n \ to \ infty} f (x) = L 다음과 같은 함수 f (x)가 있다면 \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = L
2. \ lim\_ {n \ to \ infty} | a\_n | = 0이면 \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_n = 0
3. 시퀀스 {\ {r ^ n \}} \_ 0 ^ \ infty는 -1 \ ler \ le1이면 수렴합니다.
4. 시퀀스의 경우 \ {a\_n \} if \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n} = \ lim\_ {n \ to \ infty} a\_ {2n + 1} = L이면 a\_n은 한계 L과 수렴합니다.