최상 답변
전자파 방사 (방사 측정)에서 이는 조명의 파장 (방사 방출)의 농도 또는 함수입니다.
방사 강도 및 광속 또는 지각 된 빛의 파워는 스펙트럼 분포의 예입니다.
소스의 가시 스펙트럼에 대한 스펙트럼 파워 분포는 다양한 농도의 상대 SPD를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 태양의 상대적인 스펙트럼 전력 분포는 직접 관찰하면 흰색으로 나타나지만 태양이 지구의 대기를 비추면 하늘은 정상적인 일광 조건에서 파란색으로 보입니다.
SPD는 또한 다음과 같을 수 있습니다. 지정된 파장에서 센서의 응답을 결정하는 데 사용됩니다.
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답변
아마도 먼저 다음과 같은 기만적 기초 질문을 고려하는 데 도움이됩니다.
질문 : 대각 화 가능하지 않은 행렬과 구별되는 대각 화 가능 행렬의 질적, 비 대수적 속성입니까? (대각 화가 현재 단일 행렬에 의해 수행되는지 여부는 잊어 버리십시오.)
이 간단한 질문은 대각선 행렬이 다음과 같은 점을 관찰하는 것으로 시작됩니다.
대각 화 가능한 행렬의 다항식 속성 : A가 대각 화 가능한 행렬이고 P가 실수 다항식이면 P (A)는 A의 고유 값 람다에서 P의 값 P (람다)에만 의존합니다.
여기서는
행렬에 다항식 적용 정의 : P (x)가 다항식 인 경우
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2 + .. . Cn X ^ n
그리고 A는 행렬이면 정의
P (A) = C0 I + C1 A + C2 A ^ 2 + …
여기서 I는 단위 행렬이고 지수는 행렬 곱셈을 사용하여 형성됩니다.
A를 대각 화하고 다음을 취할 때 어떤 일이 발생하는지 살펴봄으로써 위의 대각 화 가능한 행렬의 다항식 속성을 증명할 수 있습니다. 대각 행렬의 다항식.
대각 화 가능한 행렬의 경우 다항식에서 임의의 fu로 행렬에 함수를 적용하는 개념을 확장 할 수 있습니다. 다음을 사용하는 nctions
정의 (대각 화 가능한 행렬에 대한 함수 미적분, 비정상적인 형식) : A를 대각 화 가능한 행렬이고 f를 A 고유 값의 실수 또는 복소수 값 함수. 그러면 f (A)는 행렬입니다.
f (A) = M f (D) M ^ -1,
여기서
A = MDM ^ -1
는 A의 대각선 화로, D 대각선과 M 반전 가능하며, 여기서 f (D)는 각 대각선 항목 람다를 대체하여 형성됩니다. D by f (lamda).
예 : f (x) = x ^ (1/3)을 세제곱근이라고합니다. 함수를 사용하고 A를 대각 행렬로 지정합니다. 그러면 C = f (A)는 사실 A의 세제곱근입니다. C ^ 3 = A.
예 : A가 비 특수 및 대각 화 가능하고 f (x) = 1 / x이면 f (A)는 A의 역행렬입니다.
예 : A가 대각 화 가능하고 f (x) = exp (x)이면 f (A)는 일반적인 Taylor 급수에 의해 주어진 A의 행렬 지수입니다.
exp (A) = I + A + A ^ 2 / 2 + A ^ 3 / 3! + …..
이 f (A)의 정의가 잘 정의되어 있는지 (즉, 대각 화와 무관 함) 확인하고 대각선이 불가능한 경우에 진행하는 방법을 확인하려면 도움이됩니다. 다음 형식으로 대각선 A에 대한 f (A)를 재정의합니다.
대안 정의 (대각 화 가능한 행렬에 대한 기능적 계산, 더 나은 형식) : A를 대각 행렬로, f를 A의 고유 값에 대한 실수 또는 복소수 값 함수로 둡니다. 그런 다음 f (A) = P (A), 여기서 P는 f (lamda)가되도록 선택한 다항식입니다. = A의 각 고유 값 람다에 대한 P (lamda).
특히, 행렬의 함수 f (A)를 계산하기 위해 실제로 행렬을 대각화할 필요가 없습니다. 다음의 고유 값에서 f의 보간 A는 f (A)를 계산하기에 충분한 다항식을 제공합니다.
이제 A가 대각 화 가능하지 않으면 어떻게 될까요? 복소수에 대해 작업하는 경우 Jordan 정규형 은 적절한 기저를 선택하여 이러한 행렬을 블록 대각선 행렬로 작성할 수 있다고 말합니다. 요르단 블록 Jn의 직접 합계
J2 = a 1 0 a.
J3 = a 10 0 a 1 0 0 a,
여기서 Jn은 대각선에 복소수 a가 있고 대각선 위에 1 “체인이있는 anxn 행렬입니다. 각 경우 Mn은 다중성의 단일 고유 값 a를가집니다. 엔.
다음 정리에 따르면 Jordan 블록은 대각 행렬에 대한 다항식 속성을 공유하지 않습니다 .
정리 : (Jordan 블록에 대한 다항식의 작용) P가 다항식이고, Jn을 위의 형식의 nxn Jordan 블록이라고합시다. 그러면 P (J)는 P (a)와 a에서 처음 n 개의 도함수에만 의존합니다. IE
P (J2) = P (a) P “(a) 0 P (a)
P (J3) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2 0 P (a) P”(a) 0 0 P (a)
P (J4) = P (a) P “(a) P” “(a) / 2! P” “(a) / 3! 0 P (a) P “(a) P” “(a) / 2! 0 0 P (a ) P “(a) 000 P (a)
등.
단항식을 확인한 다음 단항식의 선형 조합 인 다항식으로 확장하여 위의 정리를 확인할 수 있습니다.
이가 행렬의 계산 함수와 어떤 관련이 있는지 알아 보려면 세제곱근 함수를 행렬에 적용하는 다음 문제를 고려하세요.
문제 (행렬의 입방근) : A를 비정 수 mxm 실수 또는 복소 행렬이라고합시다. A의 세제곱근 C = A ^ (1/3), 즉 A = C ^ 3이되는 행렬 C를 찾습니다.
우리는 두 가지 솔루션을 제공합니다. 첫 번째는 다음과 같은 요르단 형식을 명시 적으로 계산하는 것입니다. 행렬 A, 두 번째는 명시적인 계산없이 Jordan 형식의 존재 만 사용합니다.
해결 방법 1 : 요르단 형식으로 , 우리는 기저를 선택하여 행렬 A를 Jordan 블록 Jn으로 분해 할 수 있으므로 일부 n에 대해 A = Jn 인 경우에 대한 고려를 제한합니다. 예를 들어, 일부 복소수 a의 경우
J3 = a 1 0 0 a 1 0 0 a,
이제 다항식이 있음을 보여주는 것이 어렵지 않습니다.
P (X) = C0 + C1 X + C2 X ^ 2
J3의 고유 값 a에서 하나는
P (a) = a ^ (1/3) P “(a) = 1/3 (a ^ (1/3)) ^ (-2) P” “(a) = -2/9 (a ^ (1/3)) ^ ( -5)
(고유 값이 0이 아니라고 가정 했으므로 무한한 것은 없습니다.)
(IE P는 x-> x ^ 1 / 3 함수입니다. x = a 지점에서 미분. 복잡한 경우 a ^ 1 / 3의 정의에 약간의 모호성이 있으므로 a ^ (-2/3) = (a ^ (1/3)) ^ ( -2)이를 처리하기 위해 세 가지 공식 모두에 동일한 세제곱근이 사용됩니다.) 사실
P (X) = (5 a ^ (1/3) + 5 a ^ (-2/3) x-a ^ (-5/3) x ^ 2) / 9,
P (J3)에 대한 일반 공식을 사용했기 때문에 실제로 P를 계산할 필요는 없었습니다. 위의 정리에서
P (J3) = a ^ 1 / 3 1/3 a ^ (-2/3) -2/9 a ^ (-5/3) 0 a ^ (1 / 3) 1/3 a ^ (-2/3) 0 0 a ^ (1/3)
이것은 우리가 원하는 J3의 세제곱근입니다!
C = P (J3).
이 메모를 보려면
C ^ 3 = (P (J3)) ^ 3 = (P ^ 3) (J3) = R (J3),
여기서 R (x)는 다항식입니다
R (x) = (P (x)) ^ 3.
R의 중요한 속성은 점 x = a, 다항식 R = P ^ 3은 항등 함수 x-> x를 차수 2의 미분까지 일치시킵니다
R (a) = a R “(a) = 1 R” “(a) = 0,
요르단 블록에 적용된 다항식의 일반 공식에 따르면
C ^ 3 = R (J3) = R (a) R “(a) R “”(a) / 2 = a 1 0 = J3, 0 R (a) R “(a) = 0 a 1 0 0 R (a) = 0 0 a
원하는대로.
해결 방법 2 : A가 mxm 행렬이면 다항식 P (x)를 찾아 A의 각 고유 값 x = a에서 다항식과 m-1까지의 차수의 미분은 원하는 함수 x-> x ^ 1 / 3과 일치합니다. 그러면 C = P (A)는 A의 원하는 세제곱근입니다.
A의 모든 Jordan 블록 크기가 n보다 작기 때문에 솔루션 2가 작동하고 솔루션 1에 의해 다항식 P 각 조던 블록을 큐브 루트로 대체합니다. 우리가 A의 Jordan 형태를 명시 적으로 계산하지 않았기 때문에 우리가 사용한 다항식 P는 우리가 Jordan 사슬의 길이를 몰랐기 때문에 불필요하게 높은 수준 일 수 있습니다. 그러나 다항식 보간은 아마도 조던 형식을 계산하는 것만 큼 작업이 아니었을 것입니다. (또한 이러한 방식으로 우리는 요르단 형식과 관련된 수치 적 불안정성을 피하고 고유 값을 퇴화 시켰습니다.)
큐브의 예 루트는 다음 정의를 초대합니다.
정의 (유한 차원의 경우 Dunford 미적분의 변형) : A를 자기 인접 행렬입니다. f를 도메인에 A의 고유 값이 포함 된 실수 또는 복소 함수라고 가정합니다. 그런 다음
f (A) = P (A),
여기서 P (x)는 각 고유 값 x = a
P (a) = f (a) P “(a) = f”(a) P “”(a) = f “”(a ) …………
여기서 일치하는 파생 항목의 수는 최소한 고유 값 a에 해당하는 Jordan 블록에서 1 “s의 가장 큰 체인 크기입니다.
행렬 A에 x-> 1 / x 함수를 적용한 결과가 실제로 A의 일반적인 역행렬임을 확인할 수 있습니다. 또한 지수 함수를 적용한 결과 또는 행렬 A에 대한 사인 함수는 exp 또는 sin에 해당하는 Taylor 급수를 행렬 A에 적용하는 것과 같습니다.
행렬에 함수를 적용하는 개념을 “기능적 미적분”이라고합니다. 이것이 Dunford 미적분을 “미적분”이라고 부르는 이유입니다.
Dunford 미적분의 정의에서 f가 복잡한 미분을 갖도록 요구하는 것은 표준이며 일반적으로 무한 차원의 경우 코시 적분 공식을 사용하여이를 정의합니다. 저는 단순한 유한 차원의 경우를 설명하기 위해이 모든 것을 잘라 냈고, 복소수에서 복소수로의 함수의 도함수가 무엇인지 설명하지 않았습니다. (다행히도 x-> x ^ (1/3) 함수는 0이 아닌 실수에서 무한히 미분 할 수 있습니다.) 여기에 약간의 미묘함이있을 수 있지만 개념에 대한 간략한 개요를 제공하려고합니다.
따라서 어떤 의미에서 Jordan 형식은 본질적으로 Dunford 미적분이고 스펙트럼 정리는 self-adjoint 연산자에 대한 함수 미적분이라는 것이 분명합니다. (후자는 “Methods of”에서 Reed & Simon이 취한 관점입니다. 수학적 물리학 I : 기능 분석.이 논의는 유한 차원에 불과하지만 Reed & Simon은 무한 차원의 경우를 고려합니다.)
어쨌든이 모든 것의 결론은 대각선 화 가능성이 복용 개념과 관련이 있다는 것입니다. 행렬의 기능. 이를 기능적 미적분이라고하며 다양한 기능적 미적분이 있습니다.
이제 자기 인접성은 단순한 대각선 화 가능성이 아니라 단일 대각선 화 가능성을 의미하기 때문에 조금 더 깊습니다. 고유 공간은 직교합니다. 나는 이것에 대해 직관적으로 중요한 것을 설명 할 좋은 방법을 생각하지 못했습니다. 그러나 양자 역학에서 직교 고유 공간은 완벽하게 구별 될 수 있으며 자기 결합은 자연적인 조건이됩니다. 수소 원자의 스펙트럼은 해밀턴 연산자의 고유 값입니다.
양자 역학이 이러한 수학을 포함하는 이유에 대한 직관적 인 설명을 내놓는 것은 저를 초월합니다.