최상의 답변
스피너는 회전 및 특정 다른 변형에 따라 다르게 동작하는 벡터입니다. .
일반적으로 말하는 것보다 구체적인 수학적 예제가 있으면 스피너에 대해 생각하는 것이 훨씬 쉬워 진다고 생각합니다. 이 대답은 그렇게 할 것입니다. 입문 선형 대수 이상의 수학적 지식은 가정하지 않습니다.
Steane의 우수한 입문 문서 (여기에서보다 완전한 처리 방법 제공 : https://users.physics.ox.ac.uk/~Steane/teaching/rel\_C\_spinors.pdf .
아래의 모든 그림은 그의 것입니다. 잘못된 점이 있으면 언제든지 의견을 보내주십시오.
스피너 란 무엇입니까?
위에서 스피너는 단지 벡터입니다. 그게 무슨 뜻인가요? 이는 벡터의 모든 속성을 가지고 있다는 의미입니다.
- 함께 더할 수 있습니다.
- 상수 ( 스칼라 라고도 함),
- “제로”스피너와 같은 것이 있습니다.
- 그리고 모든 스피너에는 역 스피너가 있습니다.
더 복잡한 요구 사항을 추가합니다.
- 두 개의 스피너는 벡터 공간처럼 잘 정의 된 내부 곱을 가질 수 있습니다.
- 스피너는 다음과 같이 의미있는 길이를 가질 수 있습니다. 기타 벡터 공간.
등
정보 만 요구 사항 을 만드는 스피너 벡터와 다른 점은 회전을 시도해도 예상 한 결과를 얻지 못한다는 것입니다. 360도 회전을 시도해도 는 동일한 스피너를 제공하지 않지만 회전합니다. 180도 정도됩니다. 보다 일반적으로, 각도 \ theta에 의한 회전은 각도 \ theta / 2에 대한 회전 행렬을 사용해야합니다!
그것을 염두에두고, 여기에 일반적인 3 차원 유클리드 공간에서 상상할 수있는 간단한 스피너가 있습니다. 위에 나열한 모든 속성을 가정합니다. 이것은 가장 간단한 스피너이며 물리학 자들에게 가장 친숙한 스피너입니다.
다음은 위의 스피너에 대한 완벽하게 유효한 수학적 설명입니다.
\ begin {bmatrix} a \\ b \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ sqrt {r} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {-\ alpha-\ phi} {2}} \\ \ sqrt {r} \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \ exp {i \ frac {-\ alpha + \ phi} {2}} \ end {bmatrix}
첫 번째 스피너에게 인사하세요!
스피너에 대한 생각 : 경고
계속 진행하기 전에 주의 뭔가 : 앞서 언급했듯이 유클리드 공간은 3 차원이지만 두 개의 구성 요소! 어떻게 이럴 수있어? 모든 벡터가 차지하는 공간의 크기와 동일한 수의 구성 요소를 가질 필요는 없나요?
모순은 한 문장으로 해결할 수 있습니다. 스피너는 유클리드 공간에 살지 않습니다. -그들은 유클리드 공간에있는 물체에 대응할 수 있고, 그들에게 행해지는 것은 유클리드 공간에서 행해진 것에 대응하도록 만들 수 있지만, 그것은 그들의 집이 아닙니다.
진실은 위에서 말한 것처럼 스피너에는 두 가지 구성 요소가 없습니다 (이 시점에서 당신은 아마 화면을 가늘게 뜨고 숨을 쉬며 맹세하고있을 것입니다. ). 스피너는 우리가 배치 한 벡터 공간의 벡터와 같은 방향을 갖지 않습니다 . 일반 벡터 공간의 객체를 모델링 할 수 있습니다. 여기에있는 것처럼, 진정한 스피너는 그러한 공간에있는 일반 벡터보다 더 많은 매개 변수 로 정의됩니다.
간단히 입력하세요. , 일반 벡터의 방향은 r, \ theta, \ phi로 정의되고 스피너의 방향은 r, \ theta, \ phi, \ alpha 및 그 기호 (위의 예에서 양수로 가정)-적절하게 말하면 3 차원 벡터 공간은 4 차원 으로 표현 될 수 있습니다. spinor (기호는 두 개의 값만 가질 수 있기 때문에 차원으로 생각할 수도 있지만 오히려 불필요합니다).
이 spinor를 4 개의 구성 요소가있는 벡터로 작성할 수 있습니다. , 각 매개 변수에 하나씩, 부호를 곱합니다. 또는 다음과 같이 트릭을 사용할 수 있습니다. 필자는 스피너에 복잡한 구성 요소가있는 것처럼 인정 하여 동일한 내용을 깔끔하게 작성할 수 있습니다. 두 개의 좌표로 위의 표현으로 spinor.이것이 내 스피너가 3 차원 벡터 공간에서 실제로 4 개의 매개 변수와 관련 차원을 가질 때 두 개의 구성 요소를 갖는 것처럼 보이는 이유입니다. 스피너가 존재하기 때문입니다. 3 차원 벡터 공간이 아니라 자신의 복잡한 공간에서.
계속 진행하기 전에 기억 : 스피너는 동일한 공간 차원 (즉, 공간에서 방향을 지정하는 데 필요한 매개 변수) 만 있으면되지만,이를 정의하는 유일한 매개 변수 일 필요는 없습니다. 이 경우 스피너의 구성 요소를 복소수 값으로 취급하고 있으므로 2 성분 열 벡터에 간결하게 작성할 수 있지만 스피너는 더 많은 매개 변수를 가질 수 있고 가질 수 있으므로 매우 까다 롭습니다. 함께 일합니다.
실제에서는 스피너가 실제로는 가 아니라는 점을 강력하게 기억하는 것이 좋습니다. 우리와 함께 살고 있습니다. 물리학의 다른 모든 것들과 마찬가지로 수학적인 추상화 로 삶을 더 쉽게 작업 할 수 있습니다. 우리 모두 정말로 3 차원 개체에 발생합니다.하지만 스피너를 사용하여 개체를 모델링하고 수학을 더 좋게 만들 수 있습니다. 이것이 바로 우리가하는 이유입니다.
To 이 지점을 집으로 가져 가려면 다음 다이어그램을 고려하십시오.
플래그 각도의 존재는 회전과 같은 단순한 문제와 직교성을 구성하는 문제를 복잡하게 만듭니다. 이는 추가 매개 변수 이며 모든 차이를 만듭니다.
스피너의이 이상한 차원이 제시하는 문제로 인해 2 차원에 일반 회전 행렬을 사용할 수 없습니다. 우리는 가장 잘 알고 있습니다. 즉, 어디에나있는 \ begin {bmatrix} \ cos {\ theta} &-\ sin {\ theta} \\ \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {bmatrix} 각도. 이것은 2 차원 벡터에 맞지만, 가장 단순한 스피너조차도 2 차원으로 지적한 것처럼 아닙니다 . 일반 3 차원 행렬도 사용할 수 없습니다. 회전 효과를 확실히 변환 할 수 있지만
직접 스피너와 스피너를 곱합니다.
스피너를 회전하는 방법
각 축에 대한 회전 은 다음에 정의 된 자체 특수 회전 행렬에 의해 제공됩니다. 스피너가 실제로 살고있는 완전히 다른 공간 (유클리드 공간이 아님). x, y, z 방향의 각도 \ theta로 회전 행렬을 나타냅니다. R\_ {x}, R\_ {y}, R\_ {z}로. 그런 다음 ,
R\_ {x} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\ i \ sin {\ frac {\ theta} {2}} 및 \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {y} = \ begin {bmatrix} \ cos {\ frac {\ theta} {2}} & \ sin {\ frac {\ theta} {2}} \\-\ sin {\ frac {\ theta} {2}} 및 \ cos {\ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
R\_ {z} = \ begin {bmatrix} \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} & 0 \\ 0 & \ exp {i \ frac {\ theta} {2}} \ end {bmatrix}
재미있는 부분 : 눈치 채 셨나요? 이러한 모든 회전 행렬이 반각 \ frac {\ theta} {2}를 사용하여 \ theta 각도로 회전하는 방법은 무엇입니까?
사실입니다! 이 각도가 두 배가되는 현상은 스피너의 특징입니다. 스피너에 이러한 반각 행렬을 곱하는 것이 공간 부분을 회전 하는 것과 동일하다는 것을 증명할 수도 있습니다. 전체 각도.
그것이 말 그대로 그것 : 필요한 모든 것 스피너에 대해 알기 위해-그것들은 그들 자신의 특별한 공간에 살고있는 벡터이고 그들 만의 특별한 회전 행렬을 가지고 있음-하나의 Quora 대답에서 다룹니다. 물론 저는 저의 관심을 가장 단순한 스피너로 제한했습니다. 기능이 모두 제공됩니다. 더 자세히 알아 보려면 Steane (위 링크)에 문의하십시오.
스피너에 관심이있는 이유
스피너는 아 원자 입자에서 예상되는 거동. 특히 입자는 spin 이라고하는 속성 인 고유 각운동량과 번들로 제공됩니다 (아 원자 입자의 회전이 실제로 각운동량을 포함합니까?에 대한 Brian Bi의 답변 참조). (즉, 입자가 실제로 * 회전 하는가 *)?입자를 일반 벡터가 아닌 스피너로 모델링함으로써이 스핀에서 기대하는 상호 작용을 성공적으로 설명 할 수있을뿐만 아니라 입자 동작에 대한 완전한 설명을 제공 할 수 있습니다. 실제로 스피너는 슈뢰딩거 방정식을 대체하는 Dirac 방정식의 기초를 형성합니다. 특수 상대성 이론과 호환되는 파동 방정식을 제공하고 양자 장 이론 (힘을 설명하기위한 양자 역학의 확장)의 기초를 형성합니다.
답변
스피너는 다음과 같은 기하학적 물체입니다. (복잡하거나 4 차이 온 벡터 공간과는 대조적으로) 실제 벡터 공간에 존재합니다.
따라서 뒤로 물러 서기 위해 벡터는 공간에 존재하고 주어진 방향을 가리키는 객체입니다. 즉, 축을 회전하면 구성 요소 벡터도 같은 방식으로 변경됩니다.
벡터는 360 “회전하면 동일한 객체를 반환하는 속성이 있습니다.
벡터로 구성 할 수있는 기하학적 객체의 호스트가 있습니다. 예를 들어 두 개의 벡터를 가져 와서 곱하여 텐서를 얻을 수 있습니다. 특히 관성 모멘트 텐서는 그중 하나입니다. 텐서는 360 “/ N으로 회전하면 동일한 객체를 다시 얻게되는 속성이 있습니다. 360 “회전하면 항상 동일한 객체로 돌아갑니다.
직교 대칭 그룹이있는 공간 (실제 벡터 공간에서 자연스럽게 발생하는 것)에는 다른 유형의 기하학적 객체가 있습니다. 벡터로 구성되어 있지 않습니다.이를 확인하는 한 가지 방법은 360 “회전하면 동일한 객체를 다시 얻지 못하고 대신 원래 객체의 -1 배가됩니다. “반대 방향.
이상한 물건입니다. 그러나 이러한 물체는 물리학에서 스핀 1/2 물체를 자연스럽게 설명하는 물체입니다.
이러한 물체는 직교 대칭 그룹이 이중으로 연결되어 있다는 이상한 특성 때문에 존재합니다. 여기에는 풍부한 수학적 구조가 있지만 이러한 객체는 도덕적으로 벡터의 제곱근입니다. 즉, 두 개의 스피너를 여러 개 함께 사용하면 벡터를 얻게됩니다. 예를 들어 두 개의 벡터를 곱하면 순간과 같은 두 번째 순위 텐서를 얻을 수 있습니다. 관성 텐서의.