정답
복소수는 두 부분으로 된 숫자입니다. 실제 부분과 허수 부분이 있습니다. 우리는 형식으로 작성하는 경향이 있습니다.
a + bi, 여기서 i는 음수 1의 제곱근입니다. 즉, (-1) ^ (1/2)
반면 , 숫자의 제곱은 숫자의 곱 자체입니다. 이것은
(a + bi) ^ 2 = (a + bi) * (a + bi)
우리는 2 차 방정식의 요소를 고려할 때 이와 비슷한 것을 만났습니다. 두 가지 요소로 구성된 제품을 확장하기위한 체계적인 접근 방식이 있습니다. “FOIL”이라는 약어를 접했을 수 있습니다.
- 두 개의 F 첫 번째 용어
- 곱하기 두 개의 O 개 용어
- 두 개의 I 개 용어를 곱합니다.
- 두 개의 L 마지막 항
답을 위해 4 개의 항을 더하세요
동일한 FOIL 접근법을 (a + bi) * (a + bi)로 적용하여
a ^ 2 + abi + abi + (bi) ^ 2
우리는 조금 재구성 할 수 있습니다. 중간 두 용어는 동일하므로 한 번 나열 할 수 있지만 2를 곱할 수 있습니다.
a ^ 2 + 2abi + (bi) ^ 2
그리고 이제 우리는 그 마지막 용어를보고, 제품의 제곱은 별도의 제곱의 곱으로 쓸 수 있다는 것을 깨달으십시오. (x * y) ^ 2 = x ^ 2 * y ^ 2.
이 규칙을 적용 해 보겠습니다 :
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (i ^ 2))
그러나“i”는 -1의 제곱근입니다. 숫자의 제곱근의 제곱은 숫자 자체입니다. 그래서 (i ^ 2) = (-1) ^ ((1/2) * 2) = (-1) ^ 1 = (-1).
이걸 연결합시다.
a ^ 2 + 2abi + ((b ^ 2) * (-1))
그 마지막 학기는 여전히 추합니다. 우리는 “시간 음수 1)을 반대편으로 변환하고 전체 용어를 빼기로 다시 쓸 수 있습니다.
a ^ 2 + 2abi-b ^ 2
하지만 표현, 우리는 가상 부분이 뒤 따르는 실수 부분의 형식을 따르지 않습니다. 우리에게는 실제 부분, 가상 부분 및 또 다른 실제 부분이 있습니다. 실제 부분을 다시 그룹화합시다.
a ^ 2-b ^ 2 + 2abi
(7 + 3i) ^ 2 = 7 ^ 2-3 ^ 2 + (2 * 7 * 3) i = 49-9 + 42i = 40 + 42i
답변
먼저 복소수 a + bi를 순서쌍 (a, b ). x 축이 일반적으로있는 수평 REAL AXIS와 일반적으로 y 축이있는 수직 IMAGINARY AXIS가있는 COMPLEX PLANE에서 점 (a, b)을 일반적인 방식으로 그래프로 표시합니다. 이제 원점에서 점 (a, b)까지의 거리를 복소수의 MODULUS라고 생각합니다. r이라고합시다.
우리는 r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) PYTHAGOREAN 정리에 의해. (표기법에 대해 죄송하지만 그로 제한됩니다.)
또한 양의 실수 축과 원점에서 (a, b) 우리는 Theta라고 부를 것입니다 (그것을 위해 T를 사용합시다). (복소수의 ARGUMENT라고합니다)
이제. 복소수 a + bi는 다음과 같이 POLAR FORM으로 쓸 수 있습니다. / p>
a + bi = r (Cos T + iSin T) 이후
a = r CosT 및. b = r Sin T
a + bi, 극형을 사용하세요.
Sqrt (a + bi) = sqrt (r) (Cos T / 2 + iSin T / 2)
그래서, 이것을 만들려면 간단하게, 원점에서 (a, b)까지의 선이있는 복소수 a + bi의 그래프를보십시오. 이제 선을 x 축으로 반쯤 돌려서 제곱근으로 줄이십시오. 끝점의 좌표는 복소수의 제곱근입니다. 제곱근은 거기에서 180도 밖에되지 않습니다.
그것을 증명하기 위해 Z = -4의 제곱근을 취합시다.
그래프는 음의 실수 축에있는 점입니다. , 원점 왼쪽에 4 단위. 각도 T = 180 도입니다.
-4의 제곱근을 취하려면 선을 다시 90도 (180의 절반)로 회전하고 길이를 2의 제곱근 4로 줄입니다. 우리는 가상 축에서 2 단위를 감습니다. 따라서 -4의 제곱근은 2i이고 다른 제곱근은 180도 떨어진 -2i입니다.
기호 :
-4 = 4 (cos 180 + iSin 180)
Sqrt (-4) = 2 (cos 90 + iSin 90) = 2 (0 + i) = 2i
그리고 2 (cos 270 + iSin 270) = 2 (0 + -1i) = -2i
(i)의 제곱근을 구하려면
(i) = 1 (cos 90 + isin 90)
sqrt (i) = 1 (cos 45 + isin 45)
= 라디칼 2 over 2 + (i) 라디칼 2 over 2