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글을 쓰고 싶은 유혹
\ sqrt {i} = \ sqrt {e ^ {i \ pi / 2}} = e ^ {i \ pi / 4} = \ cos \ frac \ pi 4 + i \ sin \ frac \ pi 4 = (1 + i) / \ sqrt {2}
그러면 다음과 같이 쓸 수 있습니다
\ sqrt {-i} = \ sqrt {e ^ {-i \ pi / 2}} = e ^ {-i \ pi / 4} = (1-i) / \ sqrt {2}
그 합계는 다음과 같습니다.
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = \ sqrt {2}
나는이 모든 것을 몇 번은별로 좋아하지 않습니다. 원인. 먼저 \ sqrt {i}에 얼마나 많은 값이 있는지에 대한 질문을 무시합니다.
실수에 적용된 근호 값을 주값으로 정의 했으므로 y = \ sqrt {x}는 함수입니다. . 복소 제곱근의 주요 값은 더 복잡하고 (최소 음이 아닌 각도와 같은 규칙) 잘 작동하지 않습니다.
제 생각에는 두 제곱근이 있다고 말하는 것이 가장 좋습니다. . \ sqrt {i}는 i ^ {\ frac 1 2}과 같은 다중 값입니다.
\ sqrt {i} = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
지수 공식에서 두 번째 문제는 극좌표로의 즉각적인 점프입니다. 우리는 자동으로 초월 적 기능과 그 역을 포함하는 구불 구불 한 길을 택합니다. 복소수의 제곱근에는 필요하지 않습니다. 확인할 수 있습니다
\ sqrt {a + bi} = \ pm \ left (\ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} + a} {2}} + i \ textrm {sgn} (b) \ sqrt {\ dfrac {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2} -a} {2}} \ \ \ right)
비표준 \ textrm이 필요한 경우 {sgn} (0) = + 1.
a = 0, b = 1이므로
\ sqrt {i} = \ pm (\ sqrt {1/2} + i \ sqrt {1/2}) = \ pm (1 + i) / \ sqrt {2}
트리 그 함수가 필요하지 않습니다. 유사하게 a = 0, b = -1은
\ sqrt {-i} = \ pm (1-i) / \ sqrt {2}
합계는 4 가능한 값 :
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = (\ pm (1 + i) \ pm (1-i)) / \ sqrt {2}
괄호 안의 값을 계산해 봅시다.
(1 + i) + (1-i) = 2 \ quad (1 + i)-(1-i) = 2i
-(1 + i) + (1-i) =-2i \ quad-(1 + i)-(1-i) =-2
실제로 4 개의 값이 있습니다. \ pm \ sqrt {2}, \ pm i \ sqrt {2}
다음과 같이 작성할 수 있습니다.
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = i ^ k \ sqrt {2} \ quad for integer k
고려해야 할 또 다른 문제가 있습니다. 때로는 켤레로 보이는 표현식을 작성할 때 여러 값을 고려할 때 켤레 관계가 유지된다는 의미입니다. 한 가지 예는 눌린 입방체입니다.
x ^ 3 + 3px = 2q에 해가 있습니다
x = \ sqrt [3] {q + \ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3 }} + \ sqrt [3] {q-\ sqrt {q ^ 2 + p ^ 3}}
각 세제곱근은 복소수에 대해 세 개의 값을 갖습니다. 그러나 입방체 자체에는 세 가지 솔루션 만 있습니다. 따라서 우리는이 표현을 9 개의 다른 값으로 해석하고 싶은 유혹을받을 수 있지만 3 개만 의미한다는 것을 알고 있습니다. 두 입방체 뿌리는 켤레를 의미하므로 쌍을 이루어야합니다.
이 해석에서 우리는 항상 켤레를 추가하여 실제 솔루션을 얻습니다.
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i} = ((1 + i) + (1-i)) / \ sqrt {2} 또는 (-(1 + i)-(1-i)) / \ sqrt {2 } 이것은 \ pm \ sqrt {2}입니다.
마지막으로 근본을 주값으로 해석하면 \ sqrt {i} = (1 + i) / \ sqrt {2}가 1 사분면이고, \ sqrt {-i}의 주요 값에 대해 2 사분면과 4 사분면 사이에서 선택해야합니다. “최소 양의 각도”규칙은 2 사분면 인 \ sqrt {-i} = (-1 + i) / \ sqrt {2}를 제안하므로
\ sqrt {i} + \ sqrt {-i } = (1 + i) / \ sqrt {2} + (-1 + i) / \ sqrt {2} = i \ sqrt {2}
아주 엉망인이 모든 해석.
답변
\ text {let :} \; \; u = \ sqrt [3] {2 + 2i} \; \; \ text {and} \; \ omega = e ^ {\ frac {2i \ pi} {3}} =-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2}
\ omega는 단위의 세 번째 근 : z ^ 3 = 1.
이 방정식의 근은 다음과 같습니다. 1; \ omega; \; \ omega ^ 2 = \ overline {\ omega}
우리는 u ^ 3 = 2 + 2i 및 (-1 + i) ^ 3 = (-1 + i) ^ 2 (-1 + i) =-2i (-1 + i) = 2 + 2i
그래서 :
\; \; \; \; \; u ^ 3 = 2 + 2i \\\ iff u ^ 3 = (-1 + i) ^ 3
\\\ iff \ left (\ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} \ right) ^ 3 = 1
\\\ iff \ displaystyle \ frac {u} {-1 + i} = \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1 , 2}
\\\ iff u = (-1 + i) \ omega ^ k \; \; \ text {with} \; k \ in {0,1,2}
따라서 :
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = u + \ overline {u} = 2 \ Re (u)
다음을 얻습니다.
\ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(-1 + i)} =- 2 \\\ text {또는} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {(-1 + i) \ omega} = 2 \ Re { (-1 + i) \ left (-\ displaystyle \ frac {1} {2} + i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1- \ sqrt3
\ \\ text {또는} \; \ sqrt [3] {2 + 2i} + \ sqrt [3] {2-2i} = 2 \ Re {((-1 + i) \ omega ^ 2)} = 2 \ Re {(-1 + i) \ left (-\ displaystyle \ frac {1} {2} -i \ displaystyle \ frac {\ sqrt3} {2} \ right)} = 1+ \ sqrt3