최상의 답변
타원은 찌그러진 원이므로 동등한 원으로 간주 할 수 있습니다. 이것은 타원 둘레의 정확한 값이 아니라 근사치 일뿐입니다.
타원의 방정식은 다음과 같습니다.
\ dfrac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ dfrac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1
a = b = r 일 때 이것은 원의 방정식이됩니다. 그래서 저는 a와 b로 원의 등가 반경 방정식을 쓸 수 있습니다.
a와 b의 평균을 취하는 대신 우리는 더 나은 근사치를 얻을 수 있습니다. a와 b의 제곱 평균 제곱을 취합니다.
ie
r\_ {eq} = \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2 }}
따라서 타원의 대략적인 둘레는 다음과 같습니다.
C = 2 \ pi r\_ {eq} = 2 \ pi \ sqrt {\ dfrac {a ^ 2 + b ^ 2} {2}}
훨씬 더 나은 근사치가 있지만 이것으로 충분하다고 생각합니다.
도움이 되었기를 바랍니다.
답변
타원의 원주를 찾을 수 있는지 시도해 보겠습니다.
준 장축 a와 준 단축 b에는 다음 방정식이 있습니다.
\ displaystyle \ frac {x ^ 2} {a ^ 2} + \ frac {y ^ 2} {b ^ 2} = 1 \ tag {1}
그래프 (여기에서 페인트로 작업해야합니다. Math 소프트웨어에는 라이센스 갱신이 필요합니다.) :
원주를 찾으려면이 원주 \ text {d} s의 일부를 \ text {d} x, \ text {d} y의 함수로 표현해야합니다. 사용 가능한 표현에서.
\ text {d}를 직선으로 근사 할 수 있다고 가정하면 피타고라스를 적용 할 수 있습니다.
(\ text {d} s) ^ 2 = (\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2 \ tag * {}
또는
\ displaystyle \ text {d } s = \ sqrt {(\ text {d} x) ^ 2 + (\ text {d} y) ^ 2} = \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag * {}
항상 \ text {d} x> 0을 사용하거나 왼쪽에서 장축을 따라 오른쪽으로.
남은 것은 광고뿐입니다. d 호 길이의 이러한 작은 기여. 타원이 x, y 축에서 대칭이기 때문에 x \ in [0, a]를 고려하고 4를 곱할 수 있습니다.
다음을 발견했습니다.
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2} \ text {d} x \ tag {2}
표현하는 (좋은) 방법을 찾은 경우 :
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ tag {3}
우리는 사업을하고 있습니다.
그러나 y와 x를 연관시키는 식 (1)이 이미 있습니다. 계산 시간 (3), 암시 적 미분을 사용합니다.
\ displaystyle \ frac {2x} {a ^ 2} \ text {d} x + \ frac {2y} {b ^ 2} \ text {d} y = 0 \ tag * {}
또는
\ displaystyle \ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} =-\ frac {x} {y} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
또는
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {y ^ 2} \ frac {b ^ 4} {a ^ 4} \ tag {4}
x 만 사용하여 이것을 작성할 수 있어야합니다. (1)을 다시 사용합니다.
\ displaystyle y ^ 2 = b ^ 2 (1- \ frac {x ^ 2} {a ^ 2}) \ tag {5}
(5)를 (4)로 대체 :
\ displaystyle \ left (\ frac {\ text {d} y} {\ text {d} x} \ right) ^ 2 = \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2} \ tag * {}
(2)로 대체 :
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ a \ sqrt {1+ \ frac {x ^ 2} {a ^ 2-x ^ 2} \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ text {d} x \ tag {6}
이 적분을 다시 작성하는 몇 가지 옵션이 있습니다. 한 가지 옵션은 x = az, \ text {d} x = a \ text {d} z를 설정하는 것이고 다른 하나는 다음 위치에 도달합니다.
\ displaystyle 4 \ int\_0 ^ 1 \ sqrt {a ^ 2 + \ frac {z ^ 2b ^ 2} {1-z ^ 2}} \ text {d} z \ tag {7}
다른 방법은 다음 형식의 타원 매개 변수를 사용하는 것입니다.
\ begin {array} {ll} x & = a \ cos (\ theta) \\ y & = b \ sin (\ theta) \ end {array} \ tag * {}
그리고 이것은 어느 정도 표준 접근 방식 인 두 번째 종류의 타원 적분으로 이어집니다.
\ displaystyle 4a \ int\_0 ^ {\ pi / 2} \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta)} \ text {d} \ theta \ tag {8}
with
\ displaystyle e = \ sqrt {1- \ frac {b ^ 2} {a ^ 2}} \ ta g * {}
타원의 편심.
표현식 (6,7)과 (8)을 비교하면 (6, 7). 마지막 표현식은 매개 변수 e에서 더 간단 할뿐만 아니라 잘 작동합니다. 표현식 (6,7)에서 x \ to a, z \ to 1 일 때 여전히 문제가 있습니다.
그러나, 결과에 대한 폐쇄 형 표현이 없습니다. 원의 경우 e = 0이고 (8)은 예상대로 2 \ pi a로 멋지게 줄어 듭니다. (6,7)도 마찬가지입니다.