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간단히 말하면 Invariant는 어떤 변형이나 수학 연산 후에도 변하지 않는 속성입니다. Wikipedia에 아주 좋은 예가 있습니다.
뉴턴의 중력 법칙을 예로 들어 보겠습니다. 두 물체 사이의 중력은 우주 어디에서나 동일합니다. 이 두 물체 사이의 중력은 오늘날 천년 전과 동일 할 것입니다. 이 물체를 이동하는 방향에 관계없이 힘은 동일합니다. 이것은 불변의 예입니다.
스트레스 불변은 변형의 영향을받지 않는 스트레스 매트릭스의 속성입니다. 스트레스 상태는 행렬로 표현할 수 있습니다. 이 매트릭스의 정수압 성분은 매트릭스의 대각선 항 (주 응력)의 평균과 같습니다. 이 대각선 항의 합은 First Invariant (행렬의 추적이라고도 함)라고합니다.
그래서 우리는 수압과 편차의 합계로 행렬 상태를 나눌 수 있습니다. 응력-
고유 값과 고유 벡터를 결정하기 위해 방정식 | A-Lamda I | * V = 0. 마찬가지로 스트레스 상태의 경우 위의 형식과 유사한 다음 방정식을 사용합니다.
nj = 고유 벡터, Sigma = 고유 값, 델타 ij = Kronecker 델타라고도하는 단위 행렬. 이 단위 행렬은 i = j이고 다른 모든 위치에서는 0과 같은 대각선 위치에서 1입니다.
이제 다음과 같은 형식을 설정할 수 있습니다.
올바르게 기억한다면 이것이 응력 행렬의 편차 요소입니다. 아래 특성 방정식에서 불변이 특성 방정식에서 응력 항의 계수임을 알 수 있습니다.
여기서 I1, I2 및 I3은 응력 매트릭스의 불변입니다.
a. I1은 행렬의 궤적이며 대각선 항의 합입니다. 첫 번째 불변.
b. I2는 행렬의 마이너 값의 합입니다. 두 번째 불변.
c. I3 = 행렬의 행렬식 값. 세 번째 불변.
T 행렬에서 수행 된 변환에도 불구하고 이러한 값은 동일하게 유지되므로 모두 불변입니다.
위의 단계에서 우리는 일탈 행렬을 설정했고 그것이 J1이고이 J1이 0 인 것을 알아 냈습니다. J1 = 0이면 대각선 항의 합이 0입니다. 따라서 이것의 평균은 (수압 응력 = 0이라고도합니다. 따라서 편차 성분의 정수압 응력은 0과 같으며 이는 PURE SHEAR 상태임을 의미합니다.
Answer
스트레스는 일반적으로 3 * 3 행렬로 생각할 수있는 2 차 대칭 텐서로 표현됩니다. 이제 모든 텐서에는 기저의 변화에 따라 변하지 않는 불변. 두 번째 또는 차수 텐서에 대한 세 가지 원칙 불변이 있습니다 (응력, 변형, 관성 모멘트가 모두 여기에 해당). 이것들은 b가 asis가 변경됩니다. 기저 변화가 의미하는 바를 이해하려면 재료의 기본 강도 문제를 생각해보십시오. 여기서 주어진 좌표축 세트 (우리의 기저)로 기울어 진 평면에서 결과적인 수직 응력과 전단 응력을 찾으려고합니다. 우리는 모든 Mohr의 원 작업을 수행하고 새로운 기준을 따라 응력 성분을 찾을 수 있습니다 (경사를 따라 수직 인 새로운 좌표축). 따라서 이전과 지금의 응력 텐서를 고려하면 요소별로 변경된 것입니다. (둘 다 대칭적임) 그러나 다음 수량은 동일하게 유지됩니다.
- 행렬 추적
- 행렬의 보조 인자 추적
- 행렬의 결정.
이는 세 가지 주요 “불변”입니다.