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“모든 실수의 합”은 기존 수학에서 정의되지 않았고 확실하지 않습니다. 심각한 문제를 일으키지 않고 정의 할 수 있습니다.
첫 번째 문제는 모든 실수의 집합이 셀 수없는 집합이라는 것입니다. 즉, 계산과 일대일 관계로 들어갈 수 없다는 것입니다. 숫자 (예 : 1, 2, 3, 4 등) 셀 수없는 집합의 구성원 합계에 대한 일반적인 정의는 없지만 일부 셀 수있는 집합 구성원의 합계가 있습니다.
셀 수있는 세트 {x1, x2, x3,…가 있다고 가정합니다. xn,…}. 부분 합 Sn = x1 + x2 + x3 +… + xn, 즉 처음 n 개 항의 합을 정의 할 수 있습니다. 세트를 재정렬해도 문제가 없는지 확인하기 위해 양의 부분 합계 Pn = / x1 / + / x2 / + / x3 / +… + / xn /을 정의 할 수 있습니다. 시리즈 Pn의 한계 (n이 무한대로 갈 때)가 존재하면 시리즈 Sn의 한계도 존재합니다 (그러나 모든 xn이 음수가 아닌 경우가 아니면 Pn 한계와 동일하지 않음). 즉, 셀 수있는 집합에있는 모든 숫자의 합이 Sn 계열의 한계라고 말할 수 있습니다.
따라서 집합이 {1/2, 1/4, 1/8, …, 1 / 2 ^ n,…}, 수렴 계열이 훌륭하고 집합 구성원의 합은 1입니다. 그러나 모든 정수 (양수 광고 음수)가 있으면 셀 수있는 집합이 있습니다 {0 . 1, -1. 2, -2, 3, -3,…, n, -n,…}, 그러나 부분 합은 수렴하지 않습니다. 즉, 0, 1, 0, 2, 3, 0,…, n, 0,…
모든 양의 정수 n에 해당하는 음의 정수가 있음에도 불구하고 정수의 수렴 부족이 발생하므로 상쇄된다고 생각할 수 있습니다. 그러나 그들은 모든 대체 부분 합계에서 취소되지 않으며 다른 순서로 세트를 가져간 경우 취소되지 않습니다. {0, 1, 2, -1, 3, 4, -2,…}.
실수는 더 나쁩니다. 집합의 합에 대한 정의가 없기 때문입니다. 셀 수 없으며, 하나가 있다고하더라도 모든 양의 실수에 해당하는 음의 실수가 있더라도 순서를 변경하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다.
답변
집단 이론을 사용하여 해결하겠습니다.
G (\ mathbb {R}, +)를 그룹.
추가 ID 가 있습니다. 즉 0 및 덧셈 역 \ forall a \ in G는 -a입니다.
이제이 그룹의 모든 요소를 추가하면 쌍 은 서로를 반전 합니다.
\ sum\_ {a \ in G} a
= \ sum\_ {a \ in G ^ +} + \ sum\_ {a \ in G ^-} + 0,이 특별 그룹
우리는 \ mathbb {R} 집합을 \ mathbb {R ^ +}, \ mathbb {R ^-} 및
identity 요소.
위의 표현식을 다음과 같이 작성합니다.
= X + Y + 0
As 0은 동일하므로
위의 표현은
= X + Y
이제 \ forall a \ in X, a ^ {-1} \ in Y
\ implies X = Y ^ {-1}
\ implies Y = -X
\ implies X + Y = ID 요소 G = 0.
따라서 모든 실수의 합은 0입니다.