최상의 답변
이 합계의 도출은 다음에 대한 것과 유사합니다.
\ 디스플레이 스타일 \ sum\_ {i = 1} ^ {n} i = \ dfrac {n (n + 1)} {2} \ tag * {}
Let
S = 1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) \ tag * {(1)}
더하기는 교환 적이므로 S를 반대로 쓸 수 있습니다.
S = (2n-1) + (2 (n-1)-1) + (2 (n-2)-1) + \ dots + 1 \ tag * {(2)}
이 두 개 추가 용어 별 표현은 우리에게
S + S = 2S = (1 + (2n-1)) + (3 + (2 (n-2) -1)) + \ dots (1 + ( 2n-1)) \ tag * {(3)}
2S = \ underbrace {2n + 2n + \ dots 2n} \_ {\ text {n times}} \ tag * {(4)}
2S = 2n ^ {2} \ tag * {(5)}
여기에서 분명히 다음과 같습니다
S = n ^ {2} \ tag * {(6)}
이것은 귀납법으로 증명할 수있는 알려진 결과입니다. 지금 당장 진행하겠습니다. 이렇게하려면
H\_ {0} : \ {1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \}, \ forall n \ in \ mathbb {N} \ tag * {(7)}
(참고 : 저는 H\_ {0}를 가설 진술의 속기 참조로 사용합니다.)
H\_ { 0}은 귀납법을 통해 성립되며, 기본 케이스 n = 1 및 귀납 케이스 n = k + 1, k \ in \ mathbb {N}에 대해 동등성이 유지됨을 보여야합니다. 기본 케이스는 1 = 1 ^ {2} = 1이기 때문에 분명합니다. 이는 유도 케이스를 남깁니다.
k ^ {2} + 2 (k + 1)-1 = (k + 1 ) ^ {2} \ tag * {(8)}
k ^ {2} + 2k + 1 = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(9)}
(k + 1) ^ {2} = (k + 1) ^ {2} \ tag * {(10)}
우리는 k + 1에 대해 동일성이 유지됨을 알 수 있습니다. H\_ {0}가 참 사실임을 증명합니다. 따라서 우리는 (6)의 도출이 실제로 정확하다고 확실히 주장 할 수 있습니다.
1 + 3 + 5 + \ dots + (2n-1) = n ^ {2} \ tag * {}
답변
보고 보자. 누구든지 최소한 처음 몇 번은 관찰 할 수 있겠지?
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
이제 오른쪽의 숫자를 아시나요?
1,4,9,16,25, \ ldots
예! 완벽한 제곱입니다. 1 \ times 1, 2 \ times 2, 3 \ times 3, 4 \ times 4 등등.
이제 추측이 생겼습니다. 테스트 해 보겠습니다.
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
예! 6 개의 가장 작은 홀수는 우리가 예상했던 것처럼 6 ^ 2가됩니다. 몇 가지 더 시도해 볼 수 있습니다. 작동합니다.
우리가 물리학 자라면 여기서 중지합니다. 우리는 관찰을하고 가설을 세웠고 가설을 실험적으로 한두 번 테스트했습니다. 항상 작동하고 끝났습니다. 우리의 이론은 실험이 반박 할 때까지 정확합니다.
하지만 우리는 우리는 수학자입니다. 증거가 필요합니다. 그리고이 멋진 작은 사실에 대한 엄격한 증거가 많이 있습니다.
하지만 수정처럼 명확한 시각적 증거도 있습니다. 여기에 있습니다.
편집 : 많은 사람들이 엄격한 증명을 요청했습니다. 여기에 “이 시각적 증명에서 파생 될 수있는 비교적 간단한 증명이 있습니다.
홀수는 다음과 같습니다. 다음과 같이 연속 된 정사각형 간의 차이 :
- 1 = 1 ^ 2-0 ^ 2
- 3 = 2 ^ 2-1 ^ 2
- 5 = 3 ^ 2-2 ^ 2
- 7 = 4 ^ 2-3 ^ 2
등. 따라서 합산하면 마지막 사각형을 제외한 모든 것이 취소됩니다.
1 + 3 + 5 + 7 = (1 ^ 2-0 ^ 2) + (2 ^ 2-1 ^ 2) + (3 ^ 2-2 ^ 2) + (4 ^ 2-3 ^ 2) = 4 ^ 2
그러면 이제 더해지는 임의의 수의 홀수에 대해 이것을 공식적으로 써 봅시다. k,
2k + 1 = (k + 1) ^ 2-k ^ 2
따라서 처음 n 개의 홀수의 합, 즉
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1
같음
\ displaystyle \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1 } (k + 1) ^ 2-k ^ 2 = \ sum\_ {k = 1} ^ {n} k ^ 2- \ sum\_ {k = 0} ^ {n-1} k ^ 2 = n ^ 2. QED