최상의 답변
이 질문에 대한 답변이 2 개 있습니다.
- -1/12
- 무한대
명확히 \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n 발산. 그런데 왜 어떤 사람들은 -1/12라고 대답합니까? 둘 다 정확하기 때문입니다.
이것은 물리 이론, 정규화를 이해하는 데 중요한 개념의 가장 간단한 예 중 하나입니다. 겉보기에 터무니 없어 보이는 숫자 -1/12는 소위 카시미르 에너지라는 물리적 해석을 담고 있습니다.
양자 이론에서 물리량을 계산하려고 할 때 종종 무한대를 얻습니다. 그 시점에서 우리는 답을 버릴 수 있지만 이것은 우리를 어디로도 인도하지 않을 것입니다. 또는 우리는 그것을 이해하려고 노력할 수 있습니다. 이를 위해 무한대에서 유한 한 답을 추출하려고합니다. 이 프로세스를 정규화라고합니다. 발산 계열 (또는 적분)을 체계적으로 정규화하는 방법은 여러 가지가있을 수 있지만 중요한 점은 이러한 모든 방법이 동일한 유한 결과를 제공한다는 것입니다. 특히, 위의 합계는 항상 우리에게 -1/12를 제공합니다. 이것은 그 자체로 -1/12가 완전히 터무니없는 것이 아님을 시사합니다.
다음 논의는 주로 Birrel 및 Davies-Curved Space의 Quantum Fields의 Section 4.1에서 파생되었습니다. 토론의 요점을 설명하겠습니다.
2 차원 (1 개의 시간 방향과 1 개의 공간)에서 질량이없는 스칼라 필드를 고려한다고 가정합니다. 질량이없는 스칼라 필드는 전자기장과 매우 유사하지만 훨씬 간단합니다. 또한 원주 L의 스칼라 필드를 제한하겠습니다. 이제 양자 시스템을 정의했으며이 시스템의 최소 / 지상 상태 에너지를 포함하여 다양한 양을 계산할 수 있습니다. 바닥 상태 에너지는 E\_L = (2 \ pi / L ^ 2) \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n으로 밝혀졌습니다.
이제이 적분을 정규화하고 다음을 얻을 수 있습니다. E\_L =-\ pi / (6L ^ 2). 중요한 점은 이것이 우리가이 시스템의 기저 상태 에너지와 스칼라 필드가 무한 길이의 선 (본질적으로 원주를 취함)에서 제한되는 또 다른 유사한 시스템 간의 차이를 계산하려고 시도하면 정확히 얻을 수 있다는 것입니다. 무한한 원). 분명히이 정규화 된 에너지는 물리적 양이며 실제로 실험실에서 측정 할 수 있습니다.
우리는 \ sum \ limits\_ {n \ in \ mathbb {R}} n = -1/12 무효가 아닙니다.
편집 :
다음은 합계를 정규화 할 수있는 한 가지 방법입니다.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ sum n \ exp ^ {-\ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0}-\ dfrac {d} {d \ alpha} \ sum \ exp ^ {-\ alpha n} = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {\ exp ^ {-\ alpha}} {\ left (1- \ exp ^ {-\ alpha} \ right) ^ 2}
위의 제한은 예상대로 다릅니다. ,하지만 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\ sum n = \ lim \_ {\ alpha \ to 0} \ dfrac {1} {\ alpha ^ 2}-\ dfrac {1} {12} + O ( \ alpha ^ 2)
이것은 우리가 발산 합계에서 정규화 된 유한 부분을 검색하는 방법입니다. 합계를 정규화하는 방법은 결코 고유하지 않지만 합계의 유한 부분은 항상 -1/12입니다.
답변
“is”또는 “평등”? 이것이 모든 자연수의 합에 대한 혼란의 기초가되는 질문입니다.
유한 합계
“유한 합계에 문제 없음 :
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ na\_i = a\_0 + a\_1 + a\_2 + \ dotsb + a\_ {n-1} + a\_n
은 a\_i \ in \ mathbb R의 모든 시퀀스에 대해 완벽하게 정의됩니다. 덧셈의 commutativity와 associativity 덕분에 a\_i의 순서 : 결과에 영향을주지 않고 임의의 순열로 시퀀스를 섞을 수 있습니다.
무한 시리즈
무한한 시퀀스에 도달하면 (a\_i), 무한 합계는 무엇을 의미합니까? 무엇입니까 ?
가장 간단하고 안전하며 기본값 의미는 유한 합계의 한도 입니다. 이것이 무한 합의 정의입니다.
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ {\ infty} a\_i \ equiv \ lim\_ {n \ to \ infty} \ sum\_ {i = 0 } ^ na\_i
이 시리즈 절대적으로 수렴 하면 모든 것이 훌륭하고 멋집니다. 다음과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다.
- 결과에 의존
- 용어 순서 섞기
- 이러한 시리즈 두 개를 더하거나 뺄 수 있습니다. 그리고
- 두 개의 중첩 된 합계의 순서를 바꿉니다.
하지만 시리즈가 발산 인 경우 또는 조건부 수렴 값 :
- 존재하지 않을 수 있습니다.
- 순서에 따라 달라질 수 있습니다. 또는
- 정의하는 데 멋진 방법이 필요할 수 있습니다.
그리고 당신은 둘 다 시퀀스는 또는 이러한 시퀀스 두 개를 더하거나 뺍니다.
자연수의 합이 여기에 해당합니다.
\ quad \ displaystyle \ sum\_ {i = 0} ^ ni = \ tfrac12n (n + 1)
이것은 분명히 n \ to \ infty로 + \ infty로 분기되므로 표준 기본값이 존재하지 않습니다. 그리고 그것은 대부분의 사람들이 가야 할 정도입니다.
멋진 방법
완전히 위의 모든 것의 정확한 의미를 이해하고 멋진 방법으로 넘어가서는 안 안됩니다 . 마찬가지로 절대적으로 수렴하지 않는 시퀀스를 조작하는 사람은 마치 0으로 나누는 것처럼 처리해야합니다. 결과는 신뢰할 수 있습니다.
Dirichlet 시리즈 :
\ quad \ displaystyle f (s) = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} \ frac {a\_n} {n ^ s}
(a\_n)이 한정된 경우,이 시리즈는 실수 부분이 1보다 큰 s \ in \ mathbb C, \ Re (s)> 1에 대해 절대적으로 수렴합니다. \ Re (s) \ leq1의 경우 우리는 덜 견고합니다…
분석적 연속
f (이후 s)는 \ Re (s)> 1로 열린 반면에 정의 된 분석 함수 이며 본질적으로 고유 한 분석적 연속 . 모든 a\_n이 1 일 때의 연속 f\_1 (s)는 Riemann Zeta 함수 입니다.
\ quad \ displaystyle \ zeta (s ) = \ frac1 {\ Gamma (s)} \ int\_0 ^ {\ infty} \ frac {x ^ {s-1}} {e ^ x-1} \ text {d} x
여기서 \ displaystyle \ Gamma (s) = \ int\_0 ^ {\ infty} x ^ {s-1} e ^ {-x} \ text {d} x는 감마 함수입니다. , Factorial 함수의 분석적 확장입니다.
\ Re (s)> 1의 경우 \ zeta (s) = f\_1 (s).
For s = -1 :
- \ zeta (-1) =-\ frac1 {12}
- f\_1 (-1) = 1 + 2 + 3 + \ dotsb는 수렴하지 않습니다.
이제 zeta 함수 정규화 를 수행하려면 어설 션
\ quad \ displaystyle \ zeta (-1) =-\ frac1 {12} = \ sum\_ {n = 1} ^ {\ infty} n
하지만 “평등”이 의미하는 바와 요약이 무엇인지 고민하고 있다는 점에 유의하세요.
괜찮습니다.하지만 여기까지왔다면 얼마나 많은 양이 필요한지 알아 차렸을 것입니다. 당신이하는 일을 이해하는 법을 아십시오. 일반적으로 Numberphile 동영상에서 얻는 것보다 훨씬 더 …