최상의 답변
순위 2의 반 변성 텐서는 인덱스 순열에서 불변 인 경우 대칭입니다. 그 구성 요소는 인덱스 교환시 변경되지 않으며 다음을 충족합니다.
T ^ {pq} = T ^ {qp}
마찬가지로, 순위 2의 공변 텐서는 대칭입니다. 인덱스의 순열에 따라 변하지 않고 구성 요소가 다음을 충족하는 경우 :
T\_ {pq} = T\_ {qp}
랭크 2의 텐서는 일반적으로 행렬로 표현 될 수 있습니다. 따라서 텐서의 대칭은 본질적으로 그것을 나타내는 행렬의 대칭과 관련이 있습니다. 대칭 (정사각형) 행렬의 항목이 A = (a\_ {pq})로 표현되면 모든 인덱스 p 및 q에 대해 a\_ {pq} = a\_ {qp}로 알려져 있습니다. 대칭 행렬은 전치 ({\ displaystyle A = A ^ {\ mathrm {T}}})와 같습니다.
2 순위 대칭 텐서의 예에는 메트릭 텐서 g \_ {\ mu \ nu}가 있습니다. , 또는 행렬 형식으로 다음과 같이 쓸 수있는 Cauchy 응력 텐서 ({\ displaystyle \ sigma \_ {ij} = \ sigma \_ {ji}}) :
{\ displaystyle \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {11} & \ sigma \_ {12} & \ sigma \_ {13} \\\ sigma \_ {21} & \ sigma \_ {22} & \ sigma \_ {23} \\\ sigma \_ {31} & \ sigma \_ {32} & \ sigma \_ {33} \\\ end {matrix}} \ right] \ equiv \ left [{\ begin {matrix} \ sigma \_ {xx} & \ sigma \_ { xy} & \ sigma \_ {xz} \\\ sigma \_ {yx} & \ sigma \_ {yy} & \ sigma \_ {yz} \\\ sigma \_ {zx} & \ sigma \_ {zy} & \ sigma \_ {zz} \\\ end {matrix}} \ right]}
예를 들어 우리가 형식의 더 높은 순위 텐서를 가지고 있다면
\ displaystyle T\_ {qs} ^ {mpr } = T\_ {qs} ^ {pmr},
텐서는 m과 p에서 대칭이라고합니다.
어떤 두 개의 반 변성에 대해 대칭 인 텐서 두 개의 공변 인덱스는 대칭이라고합니다.
텐서는 왜곡 대칭 또는 반 대칭이라고합니다.
T\_ {qs} ^ {mpr} =-T\_ {qs} ^ {pmr}.
일반적인 경우 대칭 텐서 는 벡터 인수의 순열에 따라 변하지 않는 텐서입니다.
{\ displaystyle T (v\_ {1}, v\_ {2}, \ ldots, v\_ {r}) = T (v\_ {\ sigma 1}, v \_ {\ sigma 2}, \ ldots, v \_ {\ sigma r})}
모든 순열 σ 기호 {1, 2, …, r }. 또는 r 을 사용하여 수량으로 좌표로 표현되는 대칭 텐서 또는 순위 r 인덱스는 다음을 충족합니다.
{\ displaystyle T\_ {i\_ {1} i\_ {2} \ cdots i\_ {r}} = T\_ {i \_ {\ sigma 1} i \_ {\ sigma 2} \ cdots i \_ {\ sigma r}}.}
Answer
행렬은 일부 필드 (일반적으로 \ mathbb {R} 또는 \ mathbb {C}이지만 항상 그런 것은 아님)에서 가져온 요소의 직사각형 배열로 다른 행렬에 의한 곱셈과 정의 된 필드 요소에 의한 곱셈의 연산.
행렬은 많은 다른 것을 표현하는 데 사용됩니다.
- 선형 방정식의 계수
- 선형 변환 (특정 순서가 지정된 기저 벡터 세트가 주어짐)
- 벡터 공간의 기저 변화 (2 개의 순서화 된 기저 벡터 세트가 주어짐)
- 텐서 (특히 순서 2 텐서)
- 특정 그룹
- 등
이러한 용도 중 일부는 혼란 스러울 수 있습니다. 컨텍스트가없는 비정 수 정사각형 행렬이 주어지면 선형 변환 (또는 기저가 무엇인지), 기저의 변경 또는 텐서를 나타내는 지 살펴 보는 것은 불가능합니다.
요컨대, 행렬은 매우 일반적입니다.
p>
텐서는 벡터와 함수 (이중 벡터)에 대한 다중 선형 함수입니다. 즉, n + m 차수 텐서는 실수 또는 복소수를 반환하는 n 개의 벡터와 m 개의 이중 벡터에 대한 함수이며 모든 인수에 대해 선형입니다.
유한 차원 벡터 공간의 텐서 벡터 공간의 필드에있는 요소의 n + m 차원 배열로 표현 될 수 있으며, 2 차 텐서의 경우 종종 행렬로 표현됩니다. 선형 변환의 행렬 표현과 마찬가지로 텐서의 다차원 배열 표현은 사용되는 기준에 따라 다릅니다.
텐서는 종종 설명되고 사용되며 때로는 정의 는 필드 요소의 다차원 배열 측면에서 정의되며, 기본 벡터의 차동 변화와 관련하여 텐서가 어떻게 변환되는지에 대한 제한을받습니다. 하지만 핵심은 벡터와 선형 함수에 대한 다중 선형 함수입니다.